テニスラケットの定理

古典力学におけるテニスラケットの定理（テニスラケットのていり、英: tennis racket theorem）または中間軸の定理とは、3つの異なった主慣性モーメントをもつ剛体の運動に関する結果の一つである。この定理に基づく現象を1985年に宇宙空間で再発見した^[1]ロシア人宇宙飛行士ウラジーミル・ジャニベコフにちなんでジャニベコフ効果と呼ばれることもある。ただし、この効果自体は少なくとも150年以上前には知られており^[2]、現代の古典力学の教科書にも詳述されている^[3]^[4]ので、ジャニベコフも既に知っていたと思われる。この効果を説明する論文が1991年に出ている^[5]。

概要

定理の内容は次のとおりである。主慣性モーメントの順に慣性主軸を並べると、「剛体の第1，第3の慣性主軸のまわりの回転は安定しているが、第2の慣性主軸（中間軸）のまわりの回転は不安定である。」

このことは次のような実験で確かめられる。面（ラケットフェイス）を水平にしてテニスラケットのグリップを握り、グリップと垂直かつ面と平行な軸のまわりに1回転するようにラケットを放り上げ、キャッチする。ほとんどの場合、この回転の間に面もまた半回転し、逆の面が上になる。対照的に、（他の軸のまわりに半回転させずに）グリップと平行な軸（第1の軸）のまわりに1回転させることはたやすい。（他の軸のまわりに半回転させずに）面に垂直な軸（第3の軸）のまわりに1回転させることもまたたやすい。

また、スマートフォンを空中に回転させながら放り上げる場合、ピザ回しのように回転させる(第1軸)のと、縦に持ったときに横向きに回転させる(第3軸)のは安定しているが、縦向きに回転させる(第2軸)と横向きにも回転する。

他に本やリモコンなど、3つの異なった主慣性モーメントをもつ物体であれば何を使ってもこの実験はできる。この効果は、回転の軸が第2慣性主軸から大きく乖離していないときにはいつでも起き、空気抵抗や重力とは関係がない^[6]。

理論

無重量状態におけるジャニベコフ効果（NASA）。

テニスラケットの定理はオイラーの運動方程式を用いて定量的に分析できる。トルクがゼロならば、次の方程式が成り立つ：

{\begin{aligned}I_{1}{\dot {\omega }}_{1}&=(I_{2}-I_{3})\omega _{2}\omega _{3}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(1)}}\\I_{2}{\dot {\omega }}_{2}&=(I_{3}-I_{1})\omega _{3}\omega _{1}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(2)}}\\I_{3}{\dot {\omega }}_{3}&=(I_{1}-I_{2})\omega _{1}\omega _{2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(3)}}\end{aligned}}

ここで $I_{1},I_{2},I_{3}$ は物体の主慣性モーメントを表し、 $I_{1}<I_{2}<I_{3}$ であるとする。物体の3つの慣性主軸のまわりの角速度を $\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}$ それらの時間微分を ${\dot {\omega }}_{1},{\dot {\omega }}_{2},{\dot {\omega }}_{3}$ で表す。

第1慣性主軸のまわりの回転の安定性

第1慣性主軸（主慣性モーメント $I_{1}$ ）のまわりの回転を考える。つり合いでの性質（the nature of equilibrium）を決定するため、他の2軸のまわりの角速度の初期値は小さいものと仮定する。このとき式 (1) から、 $~{\dot {\omega }}_{1}$ は非常に小さくなる。よって、 $~\omega _{1}$ の時間変化は無視してよい。