ディオファントス近似

基本的な問題としては、任意の無理数 α に対して、

${\displaystyle |x-y\alpha |<{\frac {1}{y}}}$

となるような整数 x, y を求めることが挙げられる。ディリクレのディオファントス近似定理により、上式を満足する x と y は無数に存在する。不等式は

${\displaystyle \left|{\frac {x}{y}}-\alpha \right|<{\frac {1}{y^{2}}}}$

と書き直すことができることから、「任意の無理数 α に対して、誤差が 1/y² 以下であるような、近似有理数 x/y を求める」と言い換えることができる。

円周率 π を小数点以下3桁まで十進数表記するとすれば 3.141 である。これを分数で表記すれば 3141/1000 であり、

${\displaystyle |3141/1000-\pi |<1/1000}$

が成立するので誤差を1/1000以下に出来る。しかしディオファントス近似は、より小さい分母によって、より良い近似ができる可能性を示唆するものである。

実際

${\displaystyle |355/113-\pi |<0.00000027<1/1000000}$

である。したがって、ディオファントス近似は無理数を有理数で近似する、より良い近似方法の存在を示しているとも言える。

ディオファントス近似の不等式を満たす x, y が無限にあることの証明は鳩の巣原理を使って証明可能である。この証明の過程を利用して、π の近似で性能が良いものを分母が小さい順に求めると、以下のようになる。

${\displaystyle {\begin{aligned}|3-1\pi |&<1\\|22-7\pi |&<1/7\\|333-106\pi |&<1/106\\|355-113\pi |&<1/113.\end{aligned}}}$

これから π の近似として、3, 22/7, 333/106, 355/113, ... を得ることができる。これらの近似値は古代からよく知られた円周率の近似値である。

また、近似値と連分数展開は深い関係にある。例えば π の連分数展開は

${\displaystyle 3+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{15+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{292+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}}}$

であるが、7 の時点で計算を打ち切ると 22/7、15 の時点で打ち切ると 333/106 となる。この手法で5番目の近似値を求めると、円周率の近似として、103993/33102 を得ることができる。また実際

${\displaystyle |103993-33102\pi |<1/33102}$

である。

Summarize Timeline Top Qs Fact Check

1840年代、ジョゼフ・リウヴィル (Joseph Liouville) は、代数的数の近似に対する最初の下界を得た。x が有理数体上次数 n の代数的無理数であれば、ある定数 c(x) > 0 が存在して、任意の整数 p と q, ただし q > 0, に対し、

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x)}{q^{n}}}}$

が成り立つ。

この結果によってジョゼフ・リウヴィルは、超越数であることが初めて証明された例であるリウヴィル数、

${\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }10^{-j!}=0.110001000000000000000001000\ldots }$

を得た。この数は、次数 n をどのようにとっても、リウヴィルの定理を満たさない。

ディオファントス近似と超越数論の間のこのつながりは、今日まで続いている。証明の技術の多くが2つの分野の間で共有されている。

その後、上記リウヴィルの定理の右辺の q の指数部分は、以下の様に次第に改良されてきた。

発表年	発見者	結果
1844年	リウヴィル	${\displaystyle d}$
1909年	トゥエ	${\displaystyle {\frac {n}{2}}+1}$
1921年	ジーゲル	${\displaystyle 2{\sqrt {n}}}$
1947年	ゲルフォント, ダイソン	${\displaystyle {\sqrt {2n}}}$
1955年	ロス	${\displaystyle 2}$

最後のロスによる結果は、以下の様に表現される：

ロスの定理(トゥエ・ジーゲル・ロスの定理)(1955年)。α が、2次以上の実代数的数ならば、任意の正数 ε に対して、α に依存する正定数 c が存在して、

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c}{q^{2+\varepsilon }}}}$

が、全ての有理数 p/q　(q > 0) に対して成立する。

リドゥ (D. Ridout) は、近似分数の分母、分子に現れる素因数を制限することで、ロスの結果が改良されることを示した。

ロス–リドゥの定理(1957年)。α を、2次以上の実代数的数とする。P₁, ..., P_s, Q₁, ..., Q_tを相異なる素数、d を正整数とする。また、λ, ρ を、0 ≤ λ ≤ 1, 0 ≤ ρ ≤ 1 を満たす実数とする。正整数 p, q は、

(*)　${\displaystyle p=p^{*}P_{1}^{\sigma _{1}}\cdots P_{s}^{\sigma _{s}},\ q=q^{*}Q_{1}^{\tau _{1}}\cdots Q_{t}^{\tau _{t}},}$

但し、${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\ \sigma _{s},\ \tau _{1},\ldots ,\ \tau _{t}}$ は、非負整数で、${\displaystyle \scriptstyle 1\leq p^{*}\leq dp^{\lambda },\ 1\leq q^{*}\leq dq^{\rho }}$ を満たす。

このとき、任意の ${\displaystyle \kappa >\lambda +\rho }$ に対して、${\displaystyle \scriptstyle \alpha ,\ \kappa ,\ \lambda ,\ \rho ,\ d,\ P_{1},\ldots ,P_{s},\ Q_{1},\ldots ,\ Q_{t}}$ に依存する正定数 c が存在して、

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c}{q^{\kappa }}}}$

が、(*) を満たす全ての p/q に対して成立する。

注意　ロスの定理は、λ = ρ = 1 の場合に相当する。

リウヴィルの結果では、右辺に現れる正定数 c は、α が与えられれば、具体的に計算することが可能であるが、ロス（およびトゥエ以降の全ての結果に対しても）の結果では、c の値を計算することはできない（有効な結果ではない）。

もし、与えられた α に対して、c の値を求めることが可能になれば、不定方程式の整数解に対して、解が有限個しか存在しないことだけでなく、整数解の存在範囲を示すことが可能となる。

ベイカーによる対数の1次形式の評価定理を用いて、以下のことが証明されている。

α を次数 d ≥ 2) の実代数的数としたとき、α に依存する計算可能な定数 c と κ (< d) が存在して、

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c}{q^{\kappa }}}}$

が、全ての有理数 p/q　(q > 0) に対して成立する。

現状では、κ の結果は、ロスの結果には及ばず、例えば、

• ${\displaystyle \alpha ={\sqrt[{3}]{2}}}$ の場合、${\displaystyle c=10^{-6},\ \kappa =2.955}$
• ${\displaystyle \alpha ={\sqrt[{3}]{17}}}$ の場合、${\displaystyle c=10^{-9},\ \kappa =2.4}$

である。

• 連分数
• 不定方程式
• 円周率が22/7より小さいことの証明
• トゥエ・ジーゲル・ロスの定理
• フルヴィッツの定理 (数論)
• ダヴェンポート・シュミットの定理（英語版）
• Duffin–Schaeffer conjecture（英語版）
• Low-discrepancy sequence（英語版）