ブラ-ケット記法

ブラ ⟨φ| はケット |ψ⟩ のなすベクトル空間の双対空間の元として定義される。ケットをケットへ写す線型な関数（線型作用素）を ${\displaystyle {\hat {O}}}$ で表し、ケットに対する適用を ${\displaystyle {\hat {O}}|\psi \rangle }$ と表す。ブラケット記法において、以下の関係を満たすブラへの作用素は、ケットに対する作用素と同じ記号で表される。

${\displaystyle \{\langle \phi |{\hat {O}}\}|\psi \rangle =\langle \phi |\{{\hat {O}}|\psi \rangle \}}$

通常、上記の内積は括弧を外して ${\displaystyle \langle \phi |{\hat {O}}|\psi \rangle }$ と表される。 また特に任意のケット |ψ⟩ に作用してケット |η⟩⟨ξ|ψ⟩ を与える作用素は |η⟩⟨ξ| と表される。また同様のブラに対する作用素も同じ記号で |η⟩⟨ξ| と表される。

ブラの随伴はケット、ケットの随伴はブラである。

${\displaystyle \langle \psi |^{\dagger }=|\psi \rangle ,\quad |\psi \rangle ^{\dagger }=\langle \psi |}$

また、ある状態 ${\displaystyle |\psi \rangle }$ において、観測可能量 ${\displaystyle {\hat {O}}}$ の期待値はブラ ⟨ψ| とケット ˆO|ψ⟩ の内積 ${\displaystyle \langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle }$ として表される。

初学者向けの説明として、ケットは列ベクトル、ブラは行ベクトルに対応させる場合がある（行列表示を参照）。

この記法の利点として

• 基底に依存しない記述が可能
• 固有値が離散、連続どちらの場合も統一的に扱える
• 中身の書き方を自由に工夫して記述できる（パラメータだけを並べて |n, l, m⟩ としたり、|生きている猫⟩ と書くこともできる）

などがある^[3]。

ディラックの説明によればケット |ψ⟩ の空間においてブラ ⟨φ| は線形汎関数を表す、すなわちブラは双対空間に属しており、無限次元の場合ブラの空間はケットの空間より広い場合がある。しかし、ブラの空間にはケットの空間と同型の部分空間が必ず存在し、ケットの内積は常に定義できる。量子力学においては、ケットもブラも量子状態を過不足なく表すもので、ケットに対応しないブラには物理的意味がないので、ブラの空間としてはケットの空間と同型のものしか考えない。

正規直交基底のうち2つのラベルを α, β として、内積をブラ-ケット記法で表すと、離散基底ではクロネッカーのデルタを用いて

${\displaystyle \langle \alpha |\beta \rangle =\delta _{\alpha ,\beta },}$

連続基底ではデルタ関数を用いて

${\displaystyle \langle \alpha |\beta \rangle =\delta (\alpha -\beta )}$

となる。

また正規直交基底の完全性は離散基底について、

${\displaystyle \sum _{\alpha }|\alpha \rangle \langle \alpha |=1}$

連続基底について、

${\displaystyle \int \mathrm {d} \alpha ~|\alpha \rangle \langle \alpha |=1}$

と表現される。ただし連続基底の場合の記述は数学的に逸脱があり、本来ヒルベルト空間の元として存在しない「固有ベクトル」 ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ があるかのように書いている^[4]（量子力学の数学的定式化#スペクトル分解と観測も参照）。

第二量子化された粒子生成演算子 a^† を用いて2粒子状態を

${\displaystyle |\alpha \beta \rangle =a_{\alpha }^{\dagger }a_{\beta }^{\dagger }|0\rangle }$

と定義する。この時 a^† がフェルミ粒子を表す演算子なら、これらは反交換関係 {a †
α , a †
β } = 0 を満たすので、

${\displaystyle |\alpha \beta \rangle =a_{\alpha }^{\dagger }a_{\beta }^{\dagger }|0\rangle =-a_{\beta }^{\dagger }a_{\alpha }^{\dagger }|0\rangle =-|\beta \alpha \rangle }$

となり、反対称化されている。

また a^† がボース粒子を表す演算子であれば、これらは交換関係 [a †
α , a †
β ] = 0 を満たすので、

${\displaystyle |\alpha \beta \rangle =a_{\alpha }^{\dagger }a_{\beta }^{\dagger }|0\rangle =a_{\beta }^{\dagger }a_{\alpha }^{\dagger }|0\rangle =|\beta \alpha \rangle }$

となり、対称化されている。

ケット |ψ⟩ と、（位置表示の）波動関数 ψ(x) の関係は以下のように表される^[5]。

${\displaystyle \psi (x)=\langle x|\psi \rangle ,\quad |\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x\ \psi (x)\ |x\rangle }$

ただし、位置を表す演算子 ${\displaystyle {\hat {x}}}$ の固有値を x 、対応する固有ケットを |x⟩ とする；${\displaystyle {\hat {x}}|x\rangle =x|x\rangle }$。