演算子 (物理学)

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古典力学では粒子（または粒子系）の運動はラグランジアン${\displaystyle L(q,{\dot {q}},t)}$ やそれと等価であるハミルトニアン ${\displaystyle H(q,p,t)}$によって完全に決定される。これらは一般化座標q、一般化速度${\displaystyle {\dot {q}}=\mathrm {d} q/\mathrm {d} t}$、共役運動量

${\displaystyle p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}}$

についての関数である。

LやHが一般化座標qと無関係であるときは、qが変化してもLやHは変化しない。よってqが変化しても粒子のダイナミクスは変わらないままであり、これらの座標に共役な運動量は保存する。（これはネーターの定理の一例で、座標qについての運動の不変性は対称性となる。）古典力学における演算子は、これらの対称性と関連している。

より専門的には、Hが変換Gの群の作用下で不変であるとき、

${\displaystyle S\in G,H(S(q,p))=H(q,p)}$.

Gの元は物理的な演算子で、物理状態と対応する。

変換	演算子	位置	運動量
並進対称性	${\displaystyle X(\mathbf {a} )}$	${\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\mathbf {a} }$	${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p} }$
時間並進	${\displaystyle U(t_{0})}$	${\displaystyle \mathbf {r} (t)\rightarrow \mathbf {r} (t+t_{0})}$	${\displaystyle \mathbf {p} (t)\rightarrow \mathbf {p} (t+t_{0})}$
回転不変性	${\displaystyle R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )}$	${\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )\mathbf {r} }$	${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )\mathbf {p} }$
ガリレイ変換	${\displaystyle G(\mathbf {v} )}$	${\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\mathbf {v} t}$	${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p} +m\mathbf {v} }$
パリティ	${\displaystyle P}$	${\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow -\mathbf {r} }$	${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p} }$
T対称性	${\displaystyle T}$	${\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} (-t)}$	${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p} (-t)}$

ここで ${\displaystyle R({\hat {\boldsymbol {n}}},\theta )}$は、単位ベクトル${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {n}}}}$と角度θで定義される回転行列。