ディラック測度

数学におけるディラック測度（ディラックそくど、英: Dirac measure）は、適当な集合 X（に X の部分集合からなる任意のσ-代数を入れたもの）上で、点 x ∈ X に対して、定義される測度 δ_x であって、任意の（可測）部分集合 A ⊆ X に対して

${\displaystyle \delta _{x}(A)=1_{A}(x)={\begin{cases}0,&x\not \in A;\\1,&x\in A\end{cases}}}$

を満たすものを言う。ただし 1_A は A の指示関数を表す。

ディラック測度は確率測度であり、確率の言葉で言えば標本空間 X においてほとんど確実に x が起こるかどうかを表すものである。この測度を x における単原子元（英語版）と呼ぶこともある。ただし、ディラックデルタを（デルタ列の極限として）点列で定義する場合には、ディラック測度を原子測度（atomic measure）として扱うことは正しくない。ディラック測度は X 上の確率測度全体の成すの凸集合の極値点（英語版）である。

その名称は、測度が特別な種類のシュヴァルツ超函数として得られるという事実に基づいての、（例えば実数直線上で定義される）シュワルツ超函数として考えたディラックのデルタ関数からの逆成である。また、等式

${\displaystyle \int _{X}f(y)\,d\delta _{x}(y)=f(x)}$

（これをデルタ函数の定義の一部として書くときには

${\displaystyle \int _{X}f(y)\delta _{x}(y)\,dy=f(x)}$

の形に書くのが普通）は、ルベーグ積分論における定理として成立する。