指示関数

集合 E とその部分集合 A に対して、E の元 x が A に属すならば 1 を、さもなくば 0 を返す二値関数

${\displaystyle \chi _{A}\colon E\to \{1,0\};\ x\mapsto \chi _{A}(x):={\begin{cases}1&{\text{ if }}x\in A,\\0&{\text{ if }}x\notin A\end{cases}}}$

を集合 E における部分集合 A の指示関数と呼ぶ。ある集合 E について、その部分集合 A を与えることと、A の指示関数を与えることとは等価である。すなわち、E の冪集合 2^E と、E 上の指示関数全体のなす集合 Χ(E) との間に

${\displaystyle \chi \colon 2^{E}\to \mathrm {X} (E);\ A\mapsto \chi _{A}}$

なる全単射が存在する。この意味で部分集合 A は指示関数 χ_A によって特徴付けられるので、χ_A を部分集合 A の特性関数ともよぶ。また、χ_A によって部分集合 A が定められるという意味で部分集合 A の 定義関数ともいう。

A の指示関数をあらわすための記号として

${\displaystyle \chi _{A}(x),\operatorname {Ch} _{A}(x),I_{A}(x),{\boldsymbol {1}}_{A}(x),1\!\!1_{A}(x),1_{A}(x)}$

などがしばしば用いられる。

A, B はある特定の集合 U の部分集合とする。部分集合の間の集合演算に関して、U 上の指示関数は

• 空集合: ${\displaystyle \chi _{\emptyset }=0,}$
• 全体集合: ${\displaystyle \chi _{U}=1,}$
• 非交和: ${\displaystyle \chi _{A\sqcup B}=\chi _{A}+\chi _{B},}$
• 共通部分: ${\displaystyle \chi _{A\cap B}=\chi _{A}\chi _{B}=\min\{\chi _{A},\chi _{B}\}}$

を満足する。また、これらから

• 差集合: ${\displaystyle \chi _{A\smallsetminus B}=\chi _{A}-\chi _{A}\chi _{B},}$
• 和集合: ${\displaystyle \chi _{A\cup B}=\chi _{A}+\chi _{B}-\chi _{A\cap B}=\chi _{A}+\chi _{B}-\chi _{A}\chi _{B}=\max\{\chi _{A},\chi _{B}\},}$
• 対称差: ${\displaystyle \chi _{A\triangle B}=\chi _{A\smallsetminus B}+\chi _{B\smallsetminus A}=\chi _{A}+\chi _{B}-2\chi _{A}\chi _{B},}$
• 補集合: ${\displaystyle \chi _{A^{c}}=\chi _{U\smallsetminus A}=1-\chi _{A}}$

などが成り立つことも示される。

3 次元ユークリッド空間 R³ の図形 A が（リーマンあるいはルベーグの意味で）体積確定であるというのは、その指示関数 χ_A は（リーマンあるいはルベーグの意味で）可積分となることであり、積分値

${\displaystyle m(A):=\int _{\mathbb {R} ^{3}}\chi _{A}(x)dx}$

がその集合 A の体積である。一般に可測空間 (X, M) (M ⊂ 2^X) が与えられたとき、X の部分集合 A がある測度 μ に関する可測集合であるなら、その指示関数 χ_A の測度 μ に関する積分値

${\displaystyle \operatorname {vol} _{\mu }(A)=\mu (A):=\int _{X}\chi _{A}(\xi )\,d\mu (\xi )}$

を測度 μ に関する A の体積（たいせき、volume）と呼ぶ。

ある集合 X 上の可積分関数 f(x) に対して、X の部分集合 A における f の積分を、しばしば

${\displaystyle \int _{A}f|_{A}(\xi )\,d\xi$ :=\int _{X}\chi _{A}(\xi )f(\xi )\,d\xi }

によって（各積分が定義できる限り）定める。特に、集合 supp(f) を {x ∈ X | f(x) ≠ 0} の閉包（f の台とよばれる）とすると

${\displaystyle \int _{X}f(\xi )\,d\xi =\int _{\mathrm {supp} (f)}f|_{\mathrm {supp} (f)}(\xi )\,d\xi }$

が成り立つ。また、一点集合の指示関数は（適当な条件下で）ディラックのデルタ関数をあらわすと考えられる。実際、一点集合 {x} に対して、その可測集合からなる近傍系 N_x でその共通部分が {x} となるものが存在するとき（たとえば {x} 自身が可測となるとき）

${\displaystyle \inf _{N\in \mathbf {N} _{x}}\chi _{N}=\chi _{\{x\}},}$

${\displaystyle \int _{X}\chi _{\{x\}}(\xi )f(\xi )\,d\xi$ :=\inf _{N\in \mathbf {N} _{x}}\int _{X}\chi _{N}(\xi )f(\xi )\,d\xi =f(x)\mathrm {vol} (\{x\})}

が成立する。χ_{x} はしばしば χ_x と略記される。

統計学では、この指示関数によってカテゴリデータ（A に属すか属さないか）を 1 か 0 に変換したものをダミー変数 (dummy variable) ^{[注釈 2]}という。

メンバーシップ関数は、集合の指示関数をファジィ集合へ拡張したものである。ファジィ論理における「真の度合い」(英語: degree of truth）を表す（真の度合いは確率と混同されるが、概念上別物である）。ある任意の集合 X があるとき、X のメンバーシップ関数は集合 X から区間 [0, 1] の実数値を返す。

1. [1]

   確率論においては、累積分布関数のフーリエ変換を「分布の特性関数」と呼ぶため、区別のために「集合の特性関数」を「指示関数」、「分布の特性関数」を単に「特性関数」と読んで区別する傾向が強い。また一般には、「集合の定義関数」を単に「定義関数」と呼ぶことが多いが、これも文脈上の意味が明らかな場合のことである。
2. [2]

   "Dummy variable" が束縛変数のことを指す場合もある。

• 集合
• 部分集合
• 冪集合
• ブール値関数