ディリクレ定理

この定理は以下の通りに書くことができる。

実関数 ${\displaystyle f\,}$ が 周期 2${\displaystyle {\mathit {L}}}$ 周期関数でありながら、連続関数、そして 開区間 (-${\displaystyle \pi }$, ${\displaystyle \pi }$) で 極値が有限個存在するならば、関数 ${\displaystyle f\,}$のフーリエ級数 ${\displaystyle {\mathit {S}}_{N}(f)(\theta )=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}\exp \left({\frac {in\pi \theta }{L}}\right)}$ は全ての ${\displaystyle \theta }$ について ${\displaystyle f\,}$ に一様収束する。(此処で${\displaystyle c_{n}}$はフーリエ係数である。)

この記事では便宜上 関数 ${\displaystyle f\,}$ の周期を 2${\displaystyle \pi }$ と設定した。

関数 ${\displaystyle f\,}$ が 閉区間 [-${\displaystyle \pi }$, ${\displaystyle \pi }$]でリーマン積分可能でありながら、ある ${\displaystyle \theta }$ ∈ [-${\displaystyle \pi }$, ${\displaystyle \pi }$] で連続ならばフェイェールの定理によって整数 ${\displaystyle n}$ と ${\displaystyle k}$について ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ の時、${\displaystyle \sigma _{kn,n}(f)(\theta )\rightarrow f(\theta )}$ が成り立つ。 そこで ${\displaystyle \sigma _{N,K}(f)(\theta )=\sum _{m=N}^{N+K-1}\left({\frac {{\mathit {S}}_{m}(f)(\theta )}{K}}\right)}$ だ。

もし、関数 ${\displaystyle f\,}$のフーリエ係数 ${\displaystyle c_{n}}$ が ランダウの記号を使って ${\displaystyle c_{n}=O\left({\frac {1}{|n|}}\right)}$と書くことが出来れば連続な所で${\displaystyle f\,}$のフーリエ級数は${\displaystyle f\,}$に収束する。

上記の 「実関数 ${\displaystyle f\,}$が 周期 2${\displaystyle \pi }$の周期関数でありながら、連続関数、そして開区間 (-${\displaystyle \pi }$, ${\displaystyle \pi }$) で極値が有限個存在する」という条件が ${\displaystyle c_{n}=O\left({\frac {1}{|n|}}\right)}$ を成り立たせる。 その上、連続関数なので ${\displaystyle f\,}$に一様収束することも分かる。