ドッティ数

ドッティ数 D は正則化不完全ベータ関数を用いた次の表示を持つ。

${\displaystyle D={\sqrt {1-\left(2{\text{I}}_{\frac {1}{2}}^{-1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}}\right)-1\right)^{2}}}}$

• ${\displaystyle D={\sqrt {1-\left(1-\left(\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {16(z-\sinh(z))^{2}+12\pi ^{2}}{\left(4(z-\sinh(z))^{2}+3\pi ^{2}\right)^{2}+16\pi ^{2}(z-\sinh(z))^{2}}}\,dz\right)^{-1}\right)^{2}}}}$.
• ${\displaystyle D={\frac {\pi }{2}}-{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }\ln \left({\frac {2\pi \cosh(x)+\pi ^{2}}{x^{2}+\cosh ^{2}(x)}}+1\right)\,dx}$