ニコマコスの定理

ニコマコスの定理（ニコマコスのていり、英: Nicomachus's theorem）とは、ゲラサのニコマコスが『算術入門』のなかで提唱した定理である。

ニコマコスの定理 ― $n$ を自然数とする。1から $n$ までの整数の立方和は、1から $n$ までの整数の和の平方に等しい。すなわち、

1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}=(1+2+3+\cdots +n)^{2}

単に、総和記号で

\sum _{k=1}^{n}k^{3}=\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)^{2}=\left\{{\frac {n(n+1)}{2}}\right\}^{2}

とも書ける。

解釈

三角数の自乗の数列を考える。

0, 1, 9, 36, 100, 225, 441, 784, 1296, 2025, 3025, 4356, 6084, 8281... オンライン整数列大辞典の数列 A000537

これらの数は図形数としての側面も持っており、三角数や四角錐数の4次元錐体への一般化となる。Stein (1971) によれば、 $n \times n$ の網目に含まれる長方形の個数の数列としても捉えることができる。たとえば $4 \times 4$ の網目は延べ36個の長方形を構成している。正方形の個数は四角錐数によって数えることができる^[1]。

証明

Charles Wheatstone (1854)は、連続する $n$ 個の奇数和を考えることで証明を与えた。

$n^{3}=\left(n^{2}-n+1\right)+\left(n^{2}-n+1+2\right)+\left(n^{2}-n+1+4\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)$

より、 $n$ 番目の三角数を $T n$ として、

$n^{3}=\sum _{k=T_{n-1}+1}^{T_{n}}(2k-1)$

が成立する。したがって、 $13$ から $n 3$ まで、辺辺足して、自乗に関する恒等式

$n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1)$

を用いることで、

${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}k^{3}&=1+8+27+64+\cdots +n^{3}\\&=\underbrace {1} _{1^{3}}+\underbrace {3+5} _{2^{3}}+\underbrace {7+9+11} _{3^{3}}+\underbrace {13+15+17+19} _{4^{3}}+\cdots +\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n^{3}}\\&=\underbrace {\underbrace {\underbrace {\underbrace {1} _{1^{2}}+3} _{2^{2}}+5} _{3^{2}}+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{\left({\frac {n^{2}+n}{2}}\right)^{2}}\\&=(1+2+\cdots +n)^{2}\\&=\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)^{2}\end{aligned}}$

Row (1893) は $(i, j)$ の要素を $ij$ とする $n \times n$ 表を用いて定理を証明した。 $i$ 列目の要素の和は $iT n$ に等しいので、全要素の和は三角数の自乗 $T 2 n$ となる。一方、この表を $k = max(i, j)$ の値によってグノモンの形に分割したとき、それぞれのグノモンの要素の和は $k 3$ に等しい。よって定理は示された。

Edmonds (1957) では部分和分を用いた証明が記載されている。Stein (1971) は長方形の個数を用いた幾何学的証明を示した^{[注釈 1]}。スタインは帰納法によって証明する方法にも言及しており、また Toeplitz (1963) は古代アラビアで示された興味深い証明を与えているとしている。Kanim (2004) は純粋に視覚的な証明方法を考案した。Benjamin & Orrison (2002) は2つの新しい証明を構築し、Nelsen (1993) は7つの幾何学的方法を提示した。

一般化

ニコマコスの定理と同形の定理はすべての冪乗和においても、同様に当てはまる。則ち自然数の奇数乗和は三角数の多項式で表すことができる。この多項式はファウルハーバーの多項式と呼ばれ、三乗和の公式は、ファウルハーバーの公式の単純な系である。一方、ある冪乗和が別の和の二乗として表現される例はニコマコスの定理以外に存在しない^[2]。

Stroeker (1995) は連続する立方数の数列が平方で表される、より一般的な条件を調べた。Garrett & Hummel (2004) と Warnaar (2004) は三乗和の公式のq-類似について研究している。

歴史

ニコマコスは著書『算術入門』の20章にて、奇数を並べて書いたとき、最初は1の立方数1、次の2つの和 $3 + 5$ は2の立方数8、次の3つの和 $7 + 9 + 11$ は3の立方数27...と続くことに注目した。これ以上の情報はニコマコスの書では述べられていないが、この性質から1から $n$ までの立方数の和は、1から $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}n (n + 1)/2$ 番目の奇数 $n (n + 1) - 1$ の和に等しいことが分かる。また、これら奇数の平均は $n (n + 1) / 2$ であり、個数も $n (n + 1) / 2$ であるから、その和は $(n (n + 1) / 2) 2$ に等しい。

多くの数学者がニコマコスの定理を研究し、証明を与えてきた。Stroeker (1995) は、「すべての数論学徒はこの奇跡的な事実に感嘆するにちがいない」と述べている。Pengelley (2002) は、この恒等式がニコマコスにより発見された他に、5世紀インドの数学者アーリヤバタによる作品、またペルシアのアル＝カラジによる1000年頃の作品に記載のあることを発見した。Bressoud (2004)は、10世紀アラビアのアル＝カビーシー、13世紀フランスのゲルソニデス、16世紀インドのNilakantha Somayaji の作品にこの公式が書かれていることを言及している。ニーランカンタは視覚的な証明を示した^[3]。

脚注

参考文献

Benjamin, Arthur T.; Orrison, M. E. (2002), “Two quick combinatorial proofs of $\textstyle \sum k^{3}={n+1 \choose 2}^{2}$ ”, College Mathematics Journal 33 (5): 406–408, doi:10.2307/1559017, JSTOR 1559017 .
Benjamin, Arthur T.; Quinn, Jennifer J.; Wurtz, Calyssa (2006), “Summing cubes by counting rectangles”, College Mathematics Journal 37 (5): 387–389, doi:10.2307/27646391, JSTOR 27646391 .
Bressoud, David (2004), Calculus before Newton and Leibniz, Part III, AP Central .
Edmonds, Sheila M. (1957), “Sums of powers of the natural numbers”, The Mathematical Gazette 41 (337): 187–188, doi:10.2307/3609189, JSTOR 3609189, MR 96615, https://jstor.org/stable/3609189
Garrett, Kristina C.; Hummel, Kristen (2004), “A combinatorial proof of the sum of $q$ -cubes”, Electronic Journal of Combinatorics 11 (1): Research Paper 9, doi:10.37236/1762, MR2034423 .
Gulley, Ned (March 4, 2010), Shure, Loren, ed., “Nicomachus's Theorem”, Loren on the Art of MATLAB (Matlab Central) .
Kanim, Katherine (2004), “Proofs without words: The sum of cubes—An extension of Archimedes' sum of squares”, Mathematics Magazine 77 (4): 298–299, doi:10.2307/3219288, JSTOR 3219288, https://jstor.org/stable/3219288 .
Nelsen, Roger B. (1993), Proofs without Words, Cambridge University Press, ISBN 978-0-88385-700-7 .
Pengelley, David (2002), “The bridge between continuous and discrete via original sources”, Study the Masters: The Abel-Fauvel Conference, National Center for Mathematics Education, Univ. of Gothenburg, Sweden .
Row, T. Sundara (1893), Geometric Exercises in Paper Folding, Madras: Addison, pp. 47–48 .
Stein, Robert G. (1971), “A combinatorial proof that $\textstyle \sum k^{3}=(\sum k)^{2}$ ”, Mathematics Magazine 44 (3): 161–162, doi:10.2307/2688231, JSTOR 2688231, https://jstor.org/stable/2688231 .
Stroeker, R. J. (1995), “On the sum of consecutive cubes being a perfect square”, Compositio Mathematica 97 (1–2): 295–307, MR1355130 .
Toeplitz, Otto (1963), The Calculus, a Genetic Approach, University of Chicago Press, ISBN 978-0-226-80667-9 .
Warnaar, S. Ole (2004), “On the $q$ -analogue of the sum of cubes”, Electronic Journal of Combinatorics 11 (1): Note 13, doi:10.37236/1854, MR2114194 .
Wheatstone, C. (1854), “On the formation of powers from arithmetical progressions”, Proceedings of the Royal Society of London 7: 145–151, Bibcode: 1854RSPS....7..145W, doi:10.1098/rspl.1854.0036, https://zenodo.org/record/1432033 .

ニコマコスの定理

解釈

証明

一般化

歴史

脚注

注釈

出典

参考文献

外部リンク

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