ニュートンの不等式

ニュートンの不等式（ニュートンのふとうしき、英: Newton's inequalities）は、数学における対称式に関する不等式で、アイザックニュートンの名をとって命名された。n個の実数 a₁, a₂, …, a_n に対し、これの k次対称式を e_k とおく。次に、次の式で与えられる基本対称平均

${\displaystyle S_{k}={\frac {e_{k}}{\binom {n}{k}}}}$

は、次の不等式を満たす。ただし、${\displaystyle {\binom {n}{k}}}$ は二項係数である。

${\displaystyle S_{k-1}S_{k+1}\leq {S_{k}}^{2}.}$

等号成立の必要十分条件は、a₁, a₂, …, a_n が非負でかつすべて互いに等しいとき。

S₁ は算術平均であり、S_n は幾何平均の n乗である。