ニールセン＝二宮の定理

連続理論におけるディラック作用

${\displaystyle S=\int d^{4}x\,{\bar {\psi }}(x)i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi (x)}$

を格子間隔 ${\displaystyle a}$ で単純に離散化すると、運動量表示で

${\displaystyle D(p)=i\sum _{\mu =1}^{d}\gamma _{\mu }{\frac {1}{a}}\sin(p_{\mu }a)}$

が得られる。この演算子は

${\displaystyle p_{\mu }=0,\quad p_{\mu }={\frac {\pi }{a}}}$

でゼロとなるため、${\displaystyle d}$次元では${\displaystyle 2^{d}}$個のディラック点を持つ。特に4次元では${\displaystyle 2^{4}=16}$個のゼロ点が存在し、1つの物理的フェルミオンに対して15個の余分なフェルミオン種が現れる。この現象は、格子の並進対称性により運動量空間がブリュアンゾーン${\displaystyle T^{d}=(S^{1})^{d}}$というトーラスになることに起因する。カイラルゲージ理論の場合、Adler–Bell–Jackiw異常は

${\displaystyle \partial _{\mu }J_{5}^{\mu }={\frac {g^{2}}{16\pi ^{2}}}\operatorname {tr} (F_{\mu \nu }{\tilde {F}}^{\mu \nu })}$

で与えられ、一般に右手型と左手型の数の差

${\displaystyle \partial _{\mu }J_{5}^{\mu }\propto (N_{R}-N_{L})}$

に比例する。しかし格子では

${\displaystyle N_{R}=N_{L}}$

が強制されるため、Adler–Bell–Jackiw異常は相殺される。

Summarize Timeline Fact Check

正則化されたカイラルフェルミオン理論が

1. ゲージ群の少なくともグローバル部分に対して不変

1. ${\displaystyle N_{R}\neq N_{L}}$

1. 正しいAdler–Bell–Jackiw異常を再現

1. 作用がフェルミオン場に関して双線形

を同時に満たすことは不可能である。

Noether保存則

${\displaystyle \partial _{\mu }J^{\mu }=0}$

と量子異常

${\displaystyle \partial _{\mu }J^{\mu }=(N_{R}-N_{L}){\frac {1}{32\pi ^{2}}}\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }F_{\mu \nu }F_{\rho \sigma }}$

は両立しないためである。

三次元格子模型において、格子ハミルトニアン ${\displaystyle H(\mathbf {k} )}$ がエルミートかつ局所的で並進対称であると仮定すると、運動量空間は三次元トーラス${\displaystyle T^{3}}$となる。ワイル点近傍では

${\displaystyle H(\mathbf {k} )\simeq \sum _{i=1}^{3}v_{i}q_{i}\sigma _{i}}$

と展開できる。各ワイル点はベリー曲率

${\displaystyle \mathbf {\Omega } =\nabla _{\mathbf {k} }\times \mathbf {A} (\mathbf {k} )}$

のモノポールであり、そのトポロジカル電荷（チャーン数）

${\displaystyle C_{a}={\frac {1}{2\pi }}\oint _{S_{a}}\mathbf {\Omega } \cdot d\mathbf {S} }$

で特徴付けられる。トーラスは境界を持たない閉多様体であるため、

${\displaystyle \sum _{a}C_{a}=0}$

が成立する。これは

${\displaystyle \sum _{a}C_{a}=N_{R}-N_{L}}$

に等しいため、

${\displaystyle N_{R}=N_{L}}$

が必然的に導かれる。この証明は写像

${\displaystyle {\hat {d}}(\mathbf {k} ):T^{3}\to S^{2}}$

の次数がゼロであること、すなわちホモトピー群

${\displaystyle \pi _{2}(S^{2})=\mathbb {Z} }$

による分類に基づく。