K n R n コンパクト 凸集合 の集まりとする。
付値 とは、関数 v :K n → R であって、 v (∅ ) = 0 かつ、S ∪ T ∈ K n S ,T ∈ K n
v
(
S
)
+
v
(
T
)
=
v
(
S
∩
T
)
+
v
(
S
∪
T
)
{\displaystyle v(S)+v(T)=v(S\cap T)+v(S\cup T)~}
を満たすもののことである。付値が連続であるとは、それがハウスドルフ距離 について連続であることをいう。付値が剛体運動の下で不変であるとは、任意の S ∈ K n R n 平行移動 または回転 に対し
v (φ S )) = v (S )が成り立つことをいう。
n = 2 のとき、凸多角形に対するシュタイナーの公式を図解したもの。多角形 K と一定半径の円板 B の t 倍とのミンコフスキー和 （英語版 ） t に比例する図形（青紫色）、(3) 面積が円板の面積および t の2乗に比例する図形（緑色）。quermassintegral （英語版 ） W j K n → R は、シュタイナーの公式
V
o
l
n
(
K
+
t
B
)
=
∑
j
=
0
n
(
n
j
)
W
j
(
K
)
t
j
{\displaystyle \mathrm {Vol} _{n}(K+tB)=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}W_{j}(K)t^{j}~}
によって定義される。ここで B はユークリッド球体。例えば、W 0 は体積、W 1 表面積 の定数倍、W n -1平均幅 の定数倍、W n n B ) である。
W j 斉 n -j 次 の付値である、つまり、
W
j
(
t
K
)
=
t
n
−
j
W
j
(
K
)
,
t
≥
0
.
{\displaystyle W_{j}(tK)=t^{n-j}W_{j}(K)~,\quad t\geq 0~.}
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