平均幅

初等幾何学における平均幅（へいきんふく、英: mean width）は立体の「大きさ」に関する測度の一つである（立体の測度として利用可能なもののより詳細はハドヴィガーの定理を参照せよ）。

N-次元の場合に、S^N−1 上の与えられた方向 ˆn へ直交する (N − 1)-次元超平面を考える（ここに S^m は m-次元球面（(m + 1)-次元球体の境界面）である）と、与えられた方向 ˆn への立体の「幅」("width") は、そのような超平面の対でその間に立体を完全に挟む（立体と超平面との交わりは境界上の点に限る）もののうち最も近い対の成す距離を言う。平均幅とは、この「幅」の S^N−1 の全ての方向 ˆn に亘ってとった算術平均を言う。

より厳密に、コンパクト立体 B をその内部と境界からなる同値な点集合（この場合の点とは R^N の元である）として定義し、立体 B の支持函数（英語版）（支持超平面と原点との距離）は $${\displaystyle h_{B}(n):=\max\{\langle n,x\rangle \mid x\in B\}}$$ として定まる。ただし n は方向ベクトル、⟨⟩ は R^N の標準内積である。このとき、平均幅は $${\displaystyle b(B)={\frac {1}{S_{n-1}}}\int _{S^{n-1}}h_{B}({\hat {n}})+h_{B}(-{\hat {n}})}$$ で与えられる。ただし、S_n−1 は Sⁿ⁻¹ の (n − 1)-次元体積とする。

この平均幅は任意の（コンパクト）立体に対して定義することができるが、凸体（英語版）（点集合として凸集合を成す立体）に関してが最も有用である。