ハドヴィッガー・フィンスラー不等式

• ヴァイツェンベックの不等式（英語版）（Weitzenböck's inequality）はハドヴィッガー・フィンスラー不等式の系である。

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 4{\sqrt {3}}T\quad {\mbox{(W)}}.}$

逆にハドヴィッガー・フィンスラー不等式は、ヴァイツェンベックの不等式をcircummidarc triangleに適応すれば得ることができる^[1]。

ヴァイツェンベックの不等式はヘロンの公式を用いて証明できる。ヘロンの公式を用いた証明では、等号成立条件は元の三角形が正三角形であること、つまりa = b = cであることが分かる。

• ハドヴィッガー・フィンスラー不等式は凸な四角形に拡張することができる。4辺の長さをそれぞれa,b,c,d、面積をTとして次の不等式が成立する^[2]。

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq 4T+{\frac {{\sqrt {3}}-1}{\sqrt {3}}}\sum {(a-b)^{2}}}$

ただし

${\displaystyle \sum {(a-b)^{2}}=(a-b)^{2}+(a-c)^{2}+(a-d)^{2}+(b-c)^{2}+(b-d)^{2}+(c-d)^{2}}$

等号成立条件は四角形が正方形である、つまりa = b = c = d であるとき。

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余弦定理より

ただしαはb,cの夾角。これを変形して、

A = bcsin(α)/2と置けば、

半角の公式または倍角の公式より、

が成立するので、

を得る。この式をすべての辺に適用して辺々足せば、

を得る。ただしβ.γはそれぞれ三角形の他の内角。正接関数は0 < θ < π/2の範囲で下に凸であるので、イェンセンの不等式より

したがって

である。ところでA = bcsin(α)/2は三角形の面積を表すから、題意の不等式を得る。

ハドヴィッガー・フィンスラー不等式はポール・フィンスラーとヒューゴ・ハドヴィッガーの名を冠している。彼らは共同論文内でこの不等式をフィンスラー・ハドヴィッガーの定理とともに発表した。

• 三角形に関する不等式の一覧
• 等周定理
• ペドーの不等式（英語版）