体 (数学)

数学において、体（たい）とは、四則演算が（零で割ることを除いて）自由に行える代数系のことである。体の定義においては、積が可換か非可換かに必ずしも注視しないが、積が可換かそうでないかで目的意識や手法は大きく異なる。前者については可換体の項を、後者については斜体の項を参照されたい。

定義をきちんと述べれば、

「体とは、単位的環であって、その非零元の全体が乗法に関して群を成すものを言う」

あるいは

「体とは、非自明な単位的環であって、任意の非零元が乗法逆元を持つものを言う」

となる。

この代数的構造はリヒャルト・デーデキントとレオポルト・クロネッカーにより独立に（また極めて異なる方法で）導入されたが、ドイツ語で体を意味する Körper は、実数または複素数からなる集合で四則演算に関して閉じているものを当初は指していた。体をしばしば文字 K で表すのはこのドイツ語名による。体という言葉は「ある種の完全性、充足性、自己完結性を備えたシステム、つまりは自然に統合されている有機的な全体」を表すものとして選ばれた^[1]。

英語では体のことをfieldという^[2]。ほとんどの代数的対象について、英語ではドイツ語の直訳がそれらを表す言葉として採用されているにもかかわらず、体についてはKörperの直訳であるbodyという言葉が採用されていない。その理由は、体の概念が英語圏の数学者からもある程度独立して生まれたからだ、とする説がある^[3]。E・H・ムーアは1893年の論文^[4]においてfieldという言葉を体という意味で使い、これが体という意味でのfieldの初出であろうと見られている^[5]。レオナード・E・ディクソンは1901年の著作^[6]のタイトルにfieldを使った。エドワード・V・ハンティントン（英語版）は1905年の論文^[7]の中で、1893年に体の理論の一般的あるいは抽象的な観点からの最初期の解説がムーアとハインリッヒ・マルティン・ヴェーバー（英語版）によって独立して行われた、と書いている。この論文の中でハンティントンは、fieldという語はデデキントの用いたKörperに相当する英語（the English equivalent）である、とも書いている。20世紀のはじめ頃は、field以外にも、body、realm、Körper、corpus、campus、domainなどの用語が体を表す言葉として用いられていた^[8]。