パルス幅変調

パルス幅変調の数学的扱いは次のようになる^[1]。簡単のため、入力信号として正弦波 ${\displaystyle \;v(t)=v\sin \omega t\;}$ の場合を考える。

ここで ${\displaystyle \;v\;}$ は物理量を表す定数、${\displaystyle \;\omega \;}$、${\displaystyle \;t\;}$ はそれぞれ角振動数、時間である。

また、変調されていないときのパルス波は、周期 ${\displaystyle \;T\;}$ ごとに幅 ${\displaystyle \;\tau \;}$ （ただし${\displaystyle \;0<\tau <T\;}$）の パルスを出力するものと仮定する。

このとき、パルス幅変調された信号 ${\displaystyle \;S(t)\;}$ は、周期 ${\displaystyle \;T\;}$ ごとに幅 ${\displaystyle \;\Delta T=\tau (1+m\sin \omega t)\;}$ のパルスが出力されるように変調される。 ${\displaystyle \;m\;}$ は変調度で、${\displaystyle \;0<\Delta T<T\;}$ でなければならないので ${\displaystyle \;0<m<{\frac {T}{\tau }}-1\;}$ を満足しなければならない。

${\displaystyle \;S(t)=W\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(\Theta \left(t-nT\right)-\Theta \left(t-\left(nT+\Delta T\right)\right)\right),\;}$

ここで、${\displaystyle \;\Theta (x)\;}$はヘヴィサイドの階段関数、 ${\displaystyle \;W\;}$は次元を持ったなんらかの定数である。 ヘヴィサイドの階段関数のフーリエ変換表示

${\displaystyle \;\Theta (x)=\lim _{\epsilon \to +0}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dp}{2\pi i}}{\frac {1}{p-i\epsilon }}e^{ipx},\quad i:={\sqrt {-1\,}},\;}$

や公式

${\displaystyle \;{\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{2\pi inx}=\sum _{l=-\infty }^{\infty }\delta (x-2\pi l),\qquad x\in \mathbb {R} ,\;}$

を用い(ただし、${\displaystyle \;\delta (x)\;}$はディラックのデルタ関数) ^[2]、 適時積分と和の入れ替えを行うと、 ${\displaystyle \;S(t)\;}$は

${\displaystyle \;S(t)=S_{0}(t)+S'(t),\;}$

${\displaystyle \;{\begin{aligned}S_{0}(t)&=\lim _{l,\epsilon \rightarrow +0}{\frac {W}{2\pi il+\epsilon }}\left(e^{2\pi ilt/T}-e^{2\pi il(t-\Delta T)/T}\right)=W{\frac {\Delta T}{T}},\\S'(t)&=\sum _{l\neq 0}{\frac {W}{i}}{\frac {1}{2\pi l-i\epsilon }}e^{2\pi ilt/T}(1-e^{-2\pi il\Delta T/T})\end{aligned}}\;}$

と書ける。 ここで、${\displaystyle \;S(t)\;}$が時間の並進${\displaystyle \;t\longrightarrow t+\Delta T/2\;}$に対して 不変であることを用いると^[3]、 ${\displaystyle \;S'(t)\;}$をもう少しきれいに書き直すことができて、

${\displaystyle S'(t)=\sum _{l=1}^{\infty }{\frac {2W}{\pi l}}\cos \left({\frac {2\pi l}{T}}t\right)\sin \left({\frac {\pi l}{T}}\Delta T\right)}$

である。最後の項${\displaystyle \;\sin \left(\pi l/T\Delta T\right)\;}$に${\displaystyle \;\Delta T=\tau (1+m\sin \omega t)\;}$を代入すると、 これはFM変調の式であることがわかる。

${\displaystyle \;S_{0}(t)=W{\frac {\tau }{T}}(1+m\sin \omega t)\;}$であるから、 ローパスフィルタで${\displaystyle \;S'(t)\;}$を除去できれば、${\displaystyle \;W{\frac {\tau }{T}}\;}$分シフトされて 元の信号が復調される。