パース・クインカンシャル図法

まず、北半球が複素平面上の単位円内となる平射図法により、球面から複素平面へ投影する。その上で、この複素平面上の ${\displaystyle r}$ が ${\displaystyle w}$ に写像されるとき、ヤコビの楕円関数で表すと、

${\displaystyle \operatorname {sd} \left({\sqrt {2}}w,1/{\sqrt {2}}\right)={\sqrt {2}}r}$

の関係が成り立つ。つまり

${\displaystyle w=\int ^{r}{\frac {{\rm {d}}z}{\sqrt {1-z^{4}}}}}$

なる写像である。

この図法は特異点以外の全てで正角になる。特異点は、定義域の複素平面上では±1と${\displaystyle \pm i}$、北極を中心とした場合は赤道上に90度間隔の4点である。地図上では赤道が正方形となり、折れ曲がる点が特異点に対応する。特異点においては360度が180度に「均等に圧縮」されるので、特異点を中心としてテイソーの指示楕円を描くと正しい半円が描かれるが、正しい円ではない。少しずれた位置から特異点を含む円を投影すると明らかに歪む。

この図法では球面全体が正方形の中に納まる。外周に切れ目が出来るが、繰り返し構造を持っており、連続してタイル状に並べることができる^{[注釈 1]}。図法名にあるquincuncialはサイコロの五の目のような正方形構造を指す。そのため斜軸法などを使わなくても、大陸を分断しないような形に切り抜くことなどもできる。

同様の手法を用いた図法に、この図法の横軸法であるen:Adams hemisphere-in-a-square projection、斜軸法であるen:Guyou hemisphere-in-a-square projectionがあり、その他にも正三角形（en:Lee conformal world in a tetrahedron）など他の多角形に投影する図法がある。