体上有限生成環の理論

定理

${\displaystyle A}$ を体 ${\displaystyle k}$ 上有限生成な環とするとき、${\displaystyle k}$ 上代数的独立な ${\displaystyle A}$ の元 ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{m}}$ が存在して、${\displaystyle A}$ はその部分環 ${\displaystyle k[a_{1},\dots ,a_{m}]}$ 上整である。^[1]

証明の概略

${\displaystyle A}$ を ${\displaystyle k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ の剰余環として表し、${\displaystyle A}$ における ${\displaystyle x_{i}}$ の像を ${\displaystyle y_{i}}$ とする。${\displaystyle k[x_{1},\dots ,x_{n}]\to A}$ が単射であれば定理の主張は自明である。したがって準同型の核 ${\displaystyle I}$ が 0 でないと仮定し、${\displaystyle n}$ が減少する帰納法で証明する。適切な変数変換を施すと、${\displaystyle y_{1}}$ がある部分多項式環上整であることが分かる。同じ議論を繰り返せば高々 ${\displaystyle n}$ 回までの操作で定理が示される。^[1]

注釈

• 任意の有限生成環は定義によって多項式環の剰余環として書ける。これはアフィン代数多様体をアフィン空間の閉部分集合としてとらえる考え方に対応している。一方、ネーターの正規化補題は、アフィン代数多様体を適当なアフィン空間への有限射をもつものとしてとらえる考え方に対応する。^[1]
• ${\displaystyle A}$ を体上有限生成整域とし、${\displaystyle K}$ をその商体とする。ネーターの正規化補題は、${\displaystyle K}$ がある純超越拡大の有限拡大として得られることを意味し、体上有限生成整域の構造を理解する基本手段となる。^[1]

定理

${\displaystyle A}$ を体 ${\displaystyle k}$ 上有限生成な整域とするとき、${\displaystyle A}$ のクルル次元はその商体の ${\displaystyle k}$ 上の超越次数と等しい。とくに、${\displaystyle A}$ の極大イデアル ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ をとると、体 ${\displaystyle A/{\mathfrak {m}}}$ は ${\displaystyle k}$ の代数拡大体である。^[2][3]

証明の概略

より強く、${\displaystyle A}$ の飽和した素イデアル列の長さが ${\displaystyle A}$ の商体の超越次数と一致することを示せる。正規化補題によれば、${\displaystyle A}$ は多項式環と同型なその部分環 ${\displaystyle k[a_{1},\dots ,a_{m}]}$ 上整であり、${\displaystyle m}$ は ${\displaystyle A}$ の商体の ${\displaystyle k}$ 上の超越次数と一致する。これを用いて帰納法により定理が示される。後半は、${\displaystyle A/{\mathfrak {m}}}$ のクルル次元が 0 であることから従う。^[2]

注釈

• 超越次数は、体 ${\displaystyle k}$ 上で代数的に独立な変数の数であるから、体上有限生成整域の次元をその商体の ${\displaystyle k}$ 上の超越次数と結び付けるのは自然である。この定理は、その量が一般のネーター環に対して定義されるクルル次元と一致することを述べている。^[2]
• 体上有限生成整域では、飽和した素イデアル列の長さが一定になる。このような性質は次元論において重要である。^[2]

定理

体上有限生成環 ${\displaystyle A}$ の素イデアルは、それを含む極大イデアルの共通部分として書ける。すなわち、体上有限生成環はジャコブソン環 (Jacobson ring) である。^[3]

証明

${\displaystyle A}$ の素イデアル ${\displaystyle P}$ をとって、剰余環 ${\displaystyle A/P}$ を考えることで、${\displaystyle A}$ を体上有限生成整域として、そのすべての極大イデアルの共通部分が 0 になることを示せばよい。${\displaystyle A}$ の 0 でない元 ${\displaystyle f}$ を取り、${\displaystyle M}$ を局所化 ${\displaystyle A[f^{-1}]}$ の極大イデアルとし、${\displaystyle {\mathfrak {m}}=M\cap A}$ とおく。${\displaystyle A[f^{-1}]}$ は再び体上有限生成環であり、しかも Jacobson 環であるから、対応する剰余体は基礎体上代数的である。したがって ${\displaystyle A/{\mathfrak {m}}}$ も体となり、${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ は極大イデアルである。^[3][2]

注釈

• 任意の単位元付き可換環 ${\displaystyle A}$ のイデアル ${\displaystyle I}$ に対して、その根基は ${\displaystyle I}$ を含む素イデアルの共通部分に一致する。したがって、${\displaystyle A}$ が体上有限生成環のときは、根基は ${\displaystyle I}$ を含む極大イデアルの共通部分としても書ける。^[3]
• ${\displaystyle k}$ を代数的閉体とする。このとき、多項式環 ${\displaystyle A=k[x_{1},\dots ,x_{m}]}$ の極大イデアル ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ に対して ${\displaystyle A/{\mathfrak {m}}}$ は ${\displaystyle k}$ 上代数的になるので、${\displaystyle A/{\mathfrak {m}}\cong k}$ となる。よって、${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ は

$${\displaystyle (x_{1}-a_{1},\dots ,x_{m}-a_{m})}$$ の形に表される。これはヒルベルトの零点定理の弱形であり、アフィン代数多様体の点と極大イデアルとの対応を与える。^[3]