ビアンキ分類

唯一のリー代数は、可換リー代数 R⁰ である。

唯一のリー代数は、可換リー代数 R¹ で非零の実数からなる群で外部自己同型群を持っている。

2つのリー代数が存在する。

1. 可換リー代数 R² で、外部自己同型群 GL₂(R) を持っている。
2. 2 × 2 の上半三角行列でトレースが 0 である可解リー代数である。単純連結群は、自明な中心と位数 2 の外部自己同型群を持っている。

VIII 型と IX 型を除くすべての 3-次元リー代数は、R² と R との半直積として構成することができる。ここに R は 2 × 2 の正方行列 M により R² 上へ作用する。リー代数の分類の型の違いは、行列 M の種類の違いであり、これらの型別の違いを以下にあげる。

• I型: 可換であるが、ユニモジュラなリー代数 R³ である。単純連結な群は中心 R³ と外部自己同型群 GL₃(R) を持っている。これは M が 0 の場合である。
• II型: べき零でユニモジュラ、ハイゼンベルク代数（英語版）(Heisenberg algebra)である。単純連結な群は中心 R と外部自己同型群 GL₂(R) を持っている。この場合は M がべき零であるが、0 ではない（固有値がすべて 0）。
• III型: 可解であるが、ユニモジュラではない。この代数は、R と 2-次元の非可換リー代数である。（固有値がひとつで 0 であれば、VI型の場合に限られる。）単連結群は中心 R と非零な実数の群の外部自己同型を持っている。行列 M はひとつの 0 とひとつの非零な固有値を持っている。
• IV型: 可解であるがユニモジュラではない。 [y, z] = 0, [x, y] = y, [x, z] = y + z である。単連結群は自明な中心と実数とオーダー 2 の群の積である外部自己同型群を持っている。行列 M は 2つの同じ固有値を持つが、半単純ではない。
• V型: 可解であるがユニモジュラではない。 [y, z] = 0, [x, y] = y, [x, z] = z である。（VI型のひとつの極限であり、双方の固有値が等しい。）単連結群は自明な中心と行列式が +1 か -1 の GL₂(R) の元である外部自己同型群を持っている。行列 M は 2つの同じ固有値を持ち、半単純である。

• VI型: 可解であるが、ユニモジュラではない。無限個の族。R² と R の半直積で、そこでは行列 M は非零な和をもつ異なる複数個の実固有値を持つ。単連結群は自明な中心と非零な実数と位数 2 の群の積である外部自己同型群を持つ。
• VI₀型: 可解でユニモジュラ。このリー代数は、R² と R の半直積で、R では行列 M が非零の複数の実固有値で和が 0 の固有値を持つ。この型は、2-次元ミンコフスキー空間の等長群のリー代数。単連結群は自明な中心と正の実数と位数 8 の二面体群の席である外部自己同型群の積である。
• VII型: 可解でありユニモジュラではない。無限個の族。R² と R の半直積。そこでは行列 M は実数でも純虚数でもない固有値を持つ。単連結群は自明な中心と非零の実数である外部自己同型群を持つ。
• VII₀型: 可解でユニモジュラ。R² と R の半直積。そこでは行列 M は零ではない虚数の固有値を持つ。これは平面の等長群のリー代数である。単連結群は、中心 Z と非零な実数と位数 2 の群の外部自己同型群を持つ。
• VIII型: 半単純で、ユニモジュラ。トレースをもたない 2 × 2 の行列のリー代数 sl₂(R)。単連結な群は中心 Z と位数 2 の外部自己同型群を持つ。
• IX型: 半単純でユニモジュラ。直交群 O₃(R) のリー代数。単連結群は位数 2 の中心と自明な外部自己同型群をもち、スピン群である。

3-次元複素リー代数の分類は、VIII型を除き同様であり、IX型は同型となり、VI型と VII型は双方ともリー代数の単純な族の部分となる。

連結な 3-次元リー群は、次のように分類することができる。中心の離散部分群で割った単連結リー群の商である。従って、上の表から読み取ることができる。

このグループ分けは、サーストン(Thurston)の幾何化予想の 8つの幾何学に関連している。さらに詳しくは、8つの幾何学の内の 7つは、単連結群上の左不変計量として実現することができる（もうひとつの方法も、ときには関連することがある。）サーストンの型が S²×R の幾何学はこの方法では実現することができない。

3-次元ビアンキ空間はそれぞれ、次の性質を満たす 3つのキリングベクトル ${\displaystyle \xi _{i}^{(a)}}$ の集合をもつ。

${\displaystyle \left({\frac {\partial \xi _{i}^{(c)}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial \xi _{k}^{(c)}}{\partial x^{i}}}\right)\xi _{(a)}^{i}\xi _{(b)}^{k}=C_{\ ab}^{c}}$

ここに、${\displaystyle C_{\ ab}^{c}}$ は群の「構造定数」で、低い 2つのインデックスで定数のオーダー 3のテンソル反対称テンソルである。3-次元ビアンキ空間 ${\displaystyle C_{\ ab}^{c}}$ は、関係式

${\displaystyle C_{\ ab}^{c}=\varepsilon _{abd}n^{cd}-\delta _{a}^{c}a_{b}+\delta _{b}^{c}a_{a}}$

で与えられ、ここに ${\displaystyle \varepsilon _{abd}}$ はレヴィ・チビタ記号であり、${\displaystyle \delta _{a}^{c}}$ はクロネッカーのデルタで、ベクトル ${\displaystyle a_{a}=(a,0,0)}$ と 対角テンソル ${\displaystyle n^{cd}}$ は次の表により記述される。${\displaystyle n^{(i)}}$ は ${\displaystyle n^{cd}}$ の i-番目の固有値を与え^[1]、パラメータ a はすべての正の実数を渡る。

ビアンキの型	${\displaystyle a}$	${\displaystyle n^{(1)}}$	${\displaystyle n^{(2)}}$	${\displaystyle n^{(3)}}$	注意
I	0	0	0	0	ユークリッド空間を記述
II	0	1	0	0
III	1	0	1	-1	${\displaystyle a=1}$ である VIa型の部分空間
IV	1	0	0	1
V	1	0	0	0	特別な場合として、超擬球（英語版）(pseudosphere)がある
VI0	0	1	-1	0
VIa	${\displaystyle a}$	0	1	-1	${\displaystyle a=1}$ のとき、III型に同値
VII0	0	1	1	0	特別な場合として、ユークリッド空間がある
VIIa	${\displaystyle a}$	0	1	1	特別な場合として、超擬球がある
VIII	0	1	1	-1
IX	0	1	1	1	特別な場合として、超球面

ビアンキ空間は、リッチテンソルが空間と座標に依存しない基底ベクトル(basis vector)の積へ分離（英語版）(separated)することが可能であるいう性質を持っている。

計量

${\displaystyle ds^{2}=\gamma _{ab}\xi _{i}^{(a)}\xi _{k}^{(b)}dx^{i}dx^{k}}$　　（ 　${\displaystyle \xi _{i}^{(a)}dx^{i}}$ は 1-形式である　）

が与えられると、リッチ曲率テンソルは、${\displaystyle R_{ik}}$ は、

${\displaystyle R_{ik}=R_{(a)(b)}\xi _{i}^{(a)}\xi _{k}^{(b)}}$

${\displaystyle R_{(a)(b)}={\frac {1}{2}}\left[C_{\ \ b}^{cd}\left(C_{cda}+C_{dca}\right)+C_{\ cd}^{c}\left(C_{ab}^{\ \ d}+C_{ba}^{\ \ d}\right)-{\frac {1}{2}}C_{b}^{\ cd}C_{acd}\right]}$

により与えられる。ここに構造定数のインデックスは、${\displaystyle x^{i}}$ の函数ではない ${\displaystyle \gamma _{ab}}$ の足を上げ下げする。