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ファイバー (数学)

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数学において、用語ファイバー (fiber, fibre) は文脈によって次の2つの意味を持つ：

素朴集合論において、写像 f: X → Y のもとでの集合 Y の元のファイバーとは、単元集合 {y} の f による逆像のことである。
代数幾何学において、スキームの射のファイバーの概念は、一般に全ての点が閉とは限らないから、より注意深く定義されなければならない。

素朴集合論におけるファイバー

$f : X \to Y$ を写像とする。元 $y \in Y$ のファイバー は、

f^{-1}(\{y\})=\{x\in X\,|\,f(x)=y\}

と定義され、 $f - 1 (y)$ とも書かれる。

様々な応用においてこれはまた次のようにも呼ばれる：

写像 f による $\{y\}$ の逆像、
写像 f による $\{y\}$ の原像、
点 y における関数 f の等位集合。

等位集合という用語は f が実数値でしたがって y が単に数であるときにのみ用いられる。f が R^d の領域上の連続関数で、y が f の像に入っていれば、f に対する y の等位集合は、2次元空間内の曲線や、3次元空間内の曲面、一般には d − 1 次元の超曲面である。

代数幾何学におけるファイバー

代数幾何学において、f: X → Y がスキームの射であれば、Y の点 p のファイバーはファイバー積 $X\times _{Y}\operatorname {Spec} k(p)$ である、ただし k(p) は p における剰余体。

Terminological variance

用語「ファイバー」、「逆像」、「原像」、「等位集合」の推奨された使い方は以下のとおりである：

写像 f のもとでの元 y のファイバー
写像 f のもとでの集合 $\{y\}$ の逆像
写像 f のもとでの集合 $\{y\}$ の原像
点 y における関数 f の等位集合。

用語の濫用によって、以下のように使われることがあるが、避けるべきである：

元 y における写像 f のファイバー
元 y における写像 f の逆像
元 y における写像 f の原像
写像 f のもとでの点 y の等位集合。

例

f を実関数 $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\,x\mapsto x^{2}$ とし、y を実数とする。

y > 0 であれば、y のファイバーは二元集合 $\{{\sqrt {y}},-{\sqrt {y}}\}$ である。
y = 0 であれば、y のファイバーは単元集合 $\{0\}$ である。
y < 0 であれば、y のファイバーは空集合 $\varnothing$ である。

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