核 (代数学)

G, H を群とし、G, H の単位元をそれぞれ e_G, e_H とする。このとき、群を単位元を基点として持つ代数系とみなすことができて、群準同型 f: G → H に対して

${\displaystyle \operatorname {Ker} f=\{g\in G\mid f(g)=e_{H}\}}$

となる。これは G の部分群、とくに正規部分群になることが確かめられる。

ここで、始域 G における関係を g₁ ∼ g₂ となるのは g₁⁻¹g₂ ∈ Ker(f) となるとき、かつそのときに限るものと定義する。これは Ker(f) が G の部分群ゆえ同値関係を与える。このとき、g₁⁻¹g₂ ∈ Ker(f) と f(g₁)⁻¹f(g₂) = f(g₁⁻¹g₂) = e_H とが同値ゆえに g₁ ∼ g₂ となるのは f(g₁) = f(g₂) となるとき、かつそのときに限ると言い換えることができ、結局この関係は G × G の部分集合

${\displaystyle K:=\{(g_{1},g_{2})\in G\times G\mid f(g_{1})=f(g_{2})\}}$

の定める関係と同じものであることが確かめられる。また、Ker(f) = {e_G} となる意味で自明であるならば、g₁ ∼ g₂ は g₁ = g₂ と同値であるから、集合 K が定める関係としても自明である。

R, S を環とする。環は零元を基点に持つ代数系であり、0_R, 0_S をそれぞれ R, S の零元とすれば、環準同型 f: R → S の核は

${\displaystyle \operatorname {Ker} f:=\{r\in R\mid f(r)=0_{S}\}}$

となる。これは始域 R の部分環であり、さらに R のイデアルとなる。

環を加法についてみれば可換群であるから、群準同型について述べたことは加法についてはそのまま通用する。したがって、f: R → S の核 Ker(f) が Ker(f) = {0_R} を満たすことと f は単射であることとは同値である。

同様に、M, N を R-加群とすれば、それぞれの零元 0_M, 0_N を基点として、R-加群の準同型（R-線型写像）f: M → N に対し、

${\displaystyle \operatorname {Ker} f:=\{m\in M\mid f(m)=0_{N}\}}$

が f の核となる。やはり Ker(f) は始域 M の 部分 R-加群である。ここでも核が自明なこととその準同型が単射であることとが同値となる。なお、体上の加群であるベクトル空間の核については零空間も参照されたい。

S, T を半群とし、f: S → T を半群の準同型とすると f の核は

${\displaystyle \operatorname {Ker} f:=\{(s_{1},s_{2})\in S\times S\mid f(s_{1})=f(s_{2})\}}$

で与えられる。

準同型 h: S → T に対し、始域 S を核 Ker(h)（の定める同値関係）で割った集合 S/Ker(h) には自然に商構造が入る。これを Coim(h) と書いて、準同型 h の余像（よぞう、Coimage）と呼ぶ。

準同型 h: S → T の余像 Coim(h) は h の像 Im(h) = h(S) と同型であるという命題を準同型定理という。S, T が群、環、環上の加群などのときには確かに準同型定理が成り立つ。

• 零空間
• 核 (圏論)