ファインマン・パラメータ積分

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次のように、左辺の分数の分母の積を右辺のような同次の項の積分としてまとめる公式をファインマン・パラメータ積分という。

${\displaystyle {\frac {1}{AB}}=\int _{0}^{1}dx{\frac {1}{(Ax+B(1-x))^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{ABC}}=2!\int _{0}^{1}dx\int _{0}^{1-x}dy{\frac {1}{(Ax+By+C(1-x-y))^{3}}}}$

ここでディラックのデルタ関数${\displaystyle \delta (x)}$を用いれば、次の形にも表すことができる。

${\displaystyle {\frac {1}{AB}}=\int _{0}^{1}dxdy{\frac {1}{(Ax+By)^{2}}}\delta (1-x-y)}$

${\displaystyle {\frac {1}{ABC}}=2!\int _{0}^{1}dxdydz{\frac {1}{(Ax+By+Cz)^{3}}}\delta (1-x-y-z)}$

より一般には、

${\displaystyle {\frac {1}{A_{1}A_{2}\cdots A_{N}}}=(N-1)!\int _{0}^{1}dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{N}{\frac {1}{(A_{1}x_{1}+A_{2}x_{2}+\cdots +A_{N}x_{N})^{N}}}\delta (1-\Sigma x_{i})}$

${\displaystyle {\frac {1}{A_{1}^{\alpha _{1}}A_{2}^{\alpha _{2}}\cdots A_{N}^{\alpha _{N}}}}={\frac {\Gamma (\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{N})}{\Gamma (\alpha _{1})\Gamma (\alpha _{2})\cdots \Gamma (\alpha _{N})}}\int _{0}^{1}dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{N}{\frac {x_{1}^{\alpha _{1}-1}x_{2}^{\alpha _{2}-1}\cdots x_{N}^{\alpha _{N}-1}}{(A_{1}x_{1}+A_{2}x_{2}+\cdots +A_{N}x_{N})^{\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{N}}}}\delta (1-\Sigma x_{i})}$

が成り立つ。