フリードリヒの不等式

Ω はユークリッド空間 Rⁿ の有界部分集合で、その径は d とする。u : Ω → R はソボレフ空間 ${\displaystyle W_{0}^{k,p}(\Omega )}$ に属するものとする（すなわち、u は W^k,p(Ω) に属し、そのトレースはゼロ）。このとき、次が成り立つ。

${\displaystyle \|u\|_{L^{p}(\Omega )}\leq d^{k}\left(\sum _{|\alpha |=k}\|\mathrm {D} ^{\alpha }u\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}\right)^{1/p}.}$

この評価式において

• ${\displaystyle \|\cdot \|_{L^{p}(\Omega )}}$ はL^p ノルムを表す；
• α = (α₁, ..., α_n) は多重指数で、そのノルムは |α| = α₁ + ... + α_n である；
• D^αu は次の混合偏導函数である。

${\displaystyle \mathrm {D} ^{\alpha }u={\frac {\partial ^{|\alpha |}u}{\partial _{x_{1}}^{\alpha _{1}}\cdots \partial _{x_{n}}^{\alpha _{n}}}}.}$

• ポアンカレ不等式