径

円や球や凸図形に対して個別に径を定義する代わりに、それらを特別の場合として含む任意の n-次元図形（凸または非凸、あるいは連続的または散在的な点集合）に対するより一般の径の定義を与えることができる。

定義

距離空間の空でない部分集合の径は、その部分集合に属する点の任意の対の間の距離全体の成す集合の上限を言う。

式では、距離空間 (X, d) の部分集合 A ≠ ∅ に対し$${\displaystyle \operatorname {diam} (A):=\sup\{d(x,y)\mid x,y\in A\}}$$と書ける。

注意

多くの文献では、部分集合 A が空集合である場合への言及を行わない^{[3]:p. IX.14}。

いくつかの文献では、上記の定義を空集合に対しても拡張して、diam(∅) = sup(∅) = −∞（負の無限大）とする^[4][5]。ここで sup(∅) の値は考えている全体集合によって変化する相対的なものであることに注意しなければならない。−∞ とするのは、いま d の終域を実数直線 R と考えていることによる。上限は補完数直線 R ∪ {±∞} に値をとる^[6]。

あるいは別の規約として、diam(∅) = 0 とするものもある^[7]。これは d の終域を非負実数全体 [0, +∞) と見なすことに対応する^[8]。

• 空でない部分集合 A の径が有限な正の実数となるのは A が有界なるときで、さもなくば diam(A) = +∞ である。
• n-次元ユークリッド空間内の任意の（中身の詰まった）立体あるいは散在点集合の径は、その凸包の径に等しい。
• 微分幾何学において、径は重要な大域リーマン不変量である。

• ユークリッド平面において、長方形の径は対角線によって与えられる。
• 一点集合の径は 0 に等しい^[3]。

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  円の直径の表れ方の例

径を表す記号は「⌀」で、「直径記号 (diameter sign)」と称する。ゼロ0と区別するため丸印○に斜線を加えたもので、元来の読みは「まる」だがギリシア文字Φ「ファイ」と字形の類似から「ふぁい」の読みも見られ、「ファイ」を聞き間違えた「パイ」^[11]など誤読^[12]も散見される。

直径記号は Unicode に U+2300 ^[14]で登録されている。