フレドホルム行列式

H をヒルベルト空間とし、G を H 上の有界可逆作用素で I + T と書き表されるようなもの（ここで T はトレースクラス作用素（英語版）とする）とする。G は、

${\displaystyle (I+T)^{-1}-I=-T(I+T)^{-1}}$

が成立するために、群である。

トレースクラスノルムを || · ||₁ と表すとき、G には d(X, Y) = ||X - Y||₁ で定義される自然な計量が存在する。

H を、内積 ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ を備えるヒルベルト空間としたとき、k次の外積冪 ${\displaystyle \Lambda ^{k}H}$ も、内積

${\displaystyle (v_{1}\wedge v_{2}\wedge \cdots \wedge v_{k},w_{1}\wedge w_{2}\wedge \cdots \wedge w_{k})={\rm {det}}\,(v_{i},w_{j})}$

によりヒルベルト空間となる。

特に、H の正規直交基底を (e_i) としたとき、

${\displaystyle e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}},\qquad (i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k})}$

は ${\displaystyle \Lambda ^{k}H}$ の正規直交基底となる。

A を H 上の有界作用素とするなら、A は ${\displaystyle \Lambda ^{k}H}$ 上の有界作用素 ${\displaystyle \Lambda ^{k}(A)}$ を

${\displaystyle \Lambda ^{k}(A)v_{1}\wedge v_{2}\wedge \cdots \wedge v_{k}=Av_{1}\wedge Av_{2}\wedge \cdots \wedge Av_{k}}$

として functorially に定義する。

A がトレースクラスであるなら、

${\displaystyle \|\Lambda ^{k}(A)\|_{1}\leq \|A\|_{1}^{k}/k!.}$

によって ${\displaystyle \Lambda ^{k}}$(A) もトレースクラスとなる。このことから、

${\displaystyle {\rm {det}}\,(I+A)=\sum _{k=0}^{\infty }{\rm {Tr}}\Lambda ^{k}(A)}$

として定義されるフレドホルム行列式には、意味があることが分かる。

• A がトレースクラス作用素であるなら、

${\displaystyle {\rm {det}}\,(I+zA)=\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}{\rm {Tr}}\Lambda ^{k}(A)}$

は

${\displaystyle |{\rm {det}}\,(I+zA)|\leq \exp(|z|\cdot \|A\|_{1})}$

を満たす整関数である。

• 関数 det(I + A) は

${\displaystyle |{\rm {det}}(I+A)-{\rm {det}}(I+B)|\leq \|A-B\|_{1}\exp(\|A\|_{1}+\|B\|_{1}+1).}$

という不等式によって、トレースクラス作用素の空間上で連続となる。

また、この不等式は、Simon (2005) の第5章で述べられているように、

${\displaystyle |{\rm {det}}(I+A)-{\rm {det}}(I+B)|\leq \|A-B\|_{1}\exp(\max(\|A\|_{1},\|B\|_{1})+1)}$

という不等式によって、わずかに改良される。

• A と B がトレースクラスであるなら、

${\displaystyle {\rm {det}}(I+A)\cdot {\rm {det}}(I+B)={\rm {det}}(I+A)(I+B)}$

が成り立つ。

• 関数 det は、非ゼロ複素数の乗法群 C* への G の準同型写像である。

• T が G に含まれ、X が可逆であるなら、

${\displaystyle {\rm {det}}\,XTX^{-1}={\rm {det}}\,T}$

が成り立つ。

• A がトレースクラスであるなら、

${\displaystyle {\rm {det}}\,e^{A}=\exp \,{\rm {Tr}}(A)}$

と

${\displaystyle \log {\rm {det}}\,(I+zA)={\rm {Tr}}(\log {(I+zA)})=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {{\rm {Tr}}A^{k}}{k}}z^{k}}$

が成り立つ。

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(a, b) から G への関数 F(t) は、F(t) -I がトレースクラス作用素への写像として微分可能であるとき、すなわち、極限

${\displaystyle {\dot {F}}(t)=\lim _{h\rightarrow 0}{F(t+h)-F(t) \over h}}$

がトレースクラスノルムについて存在するとき、微分可能であると言われる。

g(t) を、トレースクラス作用素に値を取る微分可能関数とするとき、exp g(t) もそのような関数となり、

${\displaystyle F^{-1}{\dot {F}}={{\rm {id}}-\exp -{\rm {ad}}g(t) \over {\rm {ad}}g(t)}\cdot {\dot {g}}(t)}$

が成立する。ここで

${\displaystyle {\rm {ad}}(X)\cdot Y=XY-YX}$

である。イスラエル・ゴーベルグ（英語版）とマーク・クライン（英語版）は、F が G への微分可能関数であるとき、f = det F は C* への微分可能写像で、

${\displaystyle f^{-1}{\dot {f}}={\rm {Tr}}F^{-1}{\dot {F}}}$

が成立することを証明した。この結果は、ジョエル・ピンカスとウィリアム・ヘルトンおよびロジャー・ハウ（英語版）によって、A と B が有界作用素で、その交換子 AB -BA がトレースクラスであるなら、

${\displaystyle {\rm {det}}\,e^{A}e^{B}e^{-A}e^{-B}=\exp {\rm {Tr}}(AB-BA)}$

が成立することの証明に用いられた。

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H = L² (S¹) とし、P をハーディ空間 H² (S¹) の上への直交射影とする。

f がその円板上の滑らかな関数であるとき、対応する H 上の乗算作用素を m(f) と表すことにする。

交換子

Pm(f) - m(f)P

はトレースクラスである。

T(f) を、

${\displaystyle T(f)=Pm(f)P}$

のように定義される H² (S¹) 上のテープリッツ作用素（英語版）とする。このとき、加法的な交換子

${\displaystyle T(f)T(g)-T(g)T(f)}$

がトレースクラスであるための十分条件は、f と g が滑らかであることである。

ベルガーとショウは、次の等式を示した：

${\displaystyle {\rm {tr}}(T(f)T(g)-T(g)T(f))={1 \over 2\pi i}\int _{0}^{2\pi }fdg.}$

f と g が滑らかであるなら、

${\displaystyle T(e^{f+g})T(e^{-f})T(e^{-g})}$

は G に含まれる。

ハロルド・ウィドム（英語版）は、ピンカス＝ヘルトン＝ハウの結果を使って、次の等式を示した：

${\displaystyle {\rm {det}}\,T(e^{f})T(e^{-f})=\exp \sum _{n>0}na_{n}a_{-n}.}$

但し

${\displaystyle f(z)=\sum a_{n}z^{n}}$

とする。彼はこの等式を使って、セゲー・ガーボルの有名な極限公式

${\displaystyle \lim _{N\rightarrow \infty }{\rm {det}}P_{N}m(e^{f})P_{N}=\exp \sum _{n>0}na_{n}a_{-n},}$

の新たな証明方法を考案した。ここで、P_N は 1, z, ..., z^N によって張られる H の部分空間の上への射影とし、a₀ = 0 とする。

セゲーの極限公式は、1951年、イジング模型の自発磁化（英語版）の計算に関するラルス・オンサーガーと楊振寧の研究で生じた問題に対する答えとして、証明された。ウィドムの公式は、セゲーの極限公式をより早く導くものであり、共形場理論におけるボース粒子とフェルミ粒子の間の双対性と恒等的なものである。円板の弧の上でサポートされる関数に対する、セゲーの極限公式の特殊な場合の証明も、ウィドウによるものである；この結果は、ランダム行列の固有値分布に関する確率論的結果を得るために応用されている。