核作用素

ヒルベルト空間上の核作用素には、そのトレースが有限で、基底の選び方に依存しない、という重要な性質がある。ヒルベルト空間において、与えられた任意の正規直交基底 ${\displaystyle \{\psi _{n}\}}$ に対して、そのトレースを次のように定義することが出来る：

${\displaystyle {\mbox{Tr}}{\mathcal {L}}=\sum _{n}\langle \psi _{n},{\mathcal {L}}\psi _{n}\rangle .}$

これはなぜかと言うと、右辺の和は絶対収束し、また基底に依存していないからである^[要出典]。また、このトレースは、${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ の（重複も含めた）固有値すべての和と等しい。

より主要な内容については、フレドホルム核を参照。

トレースクラス作用素の定義は、1955年、アレクサンドル・グロタンディークによって一般的なバナッハ空間へと拡張された。

A と B をバナッハ空間とする。A' を、A の双対、すなわち、すなわち、 A 上のすべての連続あるいは（同値であるが）有界な線型汎函数の集合で、通常のノルムを備えたものとする。このとき、作用素

${\displaystyle {\mathcal {L}}:A\to B}$

は、${\displaystyle \Vert g_{n}\Vert \leq 1}$ を満たすベクトルの列 ${\displaystyle \{g_{n}\}\in B}$ と、${\displaystyle \Vert f_{n}^{*}\Vert \leq 1}$ を満たす汎函数の列 ${\displaystyle \{f_{n}^{*}\}\in A'}$ および

${\displaystyle \inf \left\{p\geq 1:\sum _{n}|\rho _{n}|^{p}<\infty \right\}=q}$

を満たす複素数の列 ${\displaystyle \{\rho _{n}\}}$ が存在して、

${\displaystyle {\mathcal {L}}=\sum _{n}\rho _{n}f_{n}^{*}(\cdot )g_{n}}$

のように書き表すことが出来るとき、次数 q の核と呼ばれる。ここで、上式の和は作用素ノルムについて収束するものとする。

発展例として、A = B であるとき、そのような核作用素に対してトレースを定義できることもある。

次数 1 の核であるような作用素は、核作用素と呼ばれる。それらは、級数 ∑ρ_n が絶対収束するようなものである。次数 2 の核であるような作用素は、ヒルベルト＝シュミット作用素と呼ばれる。

より一般的に、局所凸位相ベクトル空間 A からバナッハ空間 B への作用素は、0 のある固定された近傍上ですべての f_n^* が 1 によって上から評価され、また 0 のある固定された近傍上ですべての g_n が 1 によって上から評価されるという条件を、上述の条件に付帯する形で満たすとき、核と呼ばれる。

• A. Grothendieck (1955), Produits tensoriels topologiques et espace nucléaires,Mem. Am. Math.Soc. 16. MR0075539
• A. Grothendieck (1956), La theorie de Fredholm, Bull. Soc. Math. France, 84:319-384. MR0088665
• A. Hinrichs and A. Pietsch (2010), p-nuclear operators in the sense of Grothendieck, Mathematische Nachrichen 283: 232-261. doi:10.1002/mana.200910128 MR2604120
• G. L. Litvinov (2001) [1994], “Nuclear operator”, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press