フロベニウス多様体

M を滑らかな多様体とし、M 上のアフィン平坦構造とは、切断が 0 となる接バンドルと接ブラケットのペアによりはられるベクトル空間 TM の層 T^f であることとする。

局所的な例として M のチャート上の座標ベクトル場を考えると、チャートの被覆族にたいするそのようなベクトル場を貼り合せることが可能であれば、多様体はアフィン平坦構造を持つ。

さらに M 上にリーマン計量を与えると、すべての X と Y のベクトル場に対して g(X, Y) が局所的に平坦であれば、計量は平坦構造と整合性を持つ。

リーマン多様体がアフィン平坦構造と整合性を持つことと、曲率テンソルがどこでも 0 であることとは同値である。

TM 上の可換積 * の族は、

${\displaystyle X*Y=A(X,Y).\,}$

と通した S²(T^*M) ⊗ TM の切断 A と同値である。

さらに、性質

${\displaystyle g(X*Y,Z)=g(X,Y*Z).\,}$

を要求する。このことは合成 g^#∘ A が対称 3-テンソルであることを意味する。特に、定数の積を持つ線型フロベニウス多様体 (M, g, *) はフロベニウス代数であることを意味する。

(g, T^f, A) が与えられると、局所ポテンシャル Φ は局所滑らかな函数で、すべてのベクトル場 X, Y, と Z に対し、

${\displaystyle g(A(X,Y),Z)=X[Y[Z[\Phi ]]]}$

を満たす。

現在は、フロベニウス多様体 (M, g, *) は、いたるところで局所ポテンシャルを持ち、結合的である対称 3-テンソルを持つ平坦リーマン多様体 (M, g) である。