ブレートシュナイダーの公式

四角形の面積を S とすると、

${\displaystyle S}$${\displaystyle {\begin{aligned}&={\frac {1}{2}}ad\sin A+{\frac {1}{2}}bc\sin C\end{aligned}}}$

より

${\displaystyle 4S^{2}=(ad)^{2}\sin ^{2}A+(bc)^{2}\sin ^{2}C+2abcd\sin A\sin C}$

を得る。また、余弦定理より、

${\displaystyle {\text{BD}}^{2}=a^{2}+d^{2}-2ad\cos A=b^{2}+c^{2}-2bc\cos C}$

であるから

${\displaystyle {\frac {1}{4}}(b^{2}+c^{2}-a^{2}-d^{2})^{2}=(ad)^{2}\cos ^{2}A+(bc)^{2}\cos ^{2}C-2abcd\cos A\cos C}$

を得る。4S² についての式と辺々を足し合わせ、加法定理 cos(A + C) = cos A cos C − sin A sin C を用いると、

${\displaystyle 4S^{2}+{\frac {1}{4}}(b^{2}+c^{2}-a^{2}-d^{2})^{2}=(ad)^{2}+(bc)^{2}-2abcd\cos(A+C)}$

となる。倍角の公式 ${\displaystyle 1+\cos \theta =2\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}}$ を用いて変形すると、

${\displaystyle 16S^{2}=(a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d)-16abcd\cos ^{2}{\frac {A+C}{2}}}$

となる。この式は、半周長

${\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}}$

を用いて

${\displaystyle 16S^{2}=16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-16abcd\cos ^{2}{\frac {A+C}{2}}}$

となり、ブレートシュナイダーの公式を得る^[1]。

円に内接する四角形については、対角の和の半分が 90°であることから、ブラーマグプタの公式

S = √(s − a)(s − b)(s − c)(s − d)

が成り立つ。また、円に外接する四角形については、対辺の和が等しく、s = a + c = b + d であることから

${\displaystyle S={\sqrt {abcd}}\sin {\frac {A+C}{2}}}$

が成り立つ。さらに外接円と内接円を持つ四角形、つまり双心四角形については、

S = √abcd

となる。また、上記の証明は d = 0 として三角形の面積を考えているとしても通用し、ヘロンの公式

S = √s(s − a)(s − b)(s − c)

を得る。