ブロカールの問題

Dabrowski (1996)はOverholtの結果を一般化し、ABC予想が正しければ、任意の自然数 A に対し

${\displaystyle n!+A=k^{2}}$

を満たす解は有限組しか存在しないこと、A が平方数でないときはABC予想によらず解は有限個しか存在しないこと（実際 A が p を法として平方剰余ではないような最小の素数 p をとると ${\displaystyle k^{2}-A}$ は p で決して割り切れないので n < p でなければならない）を示した。

指数が2より大きい場合、および ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=n!}$ の形の方程式については Erdős & Obláth (1937) が既に

${\displaystyle x^{m}+y^{m}=n!(\gcd(x,y)=1,m\geq 2)}$

は 1+1=2! 以外の解を持たないこと、および

${\displaystyle x^{m}-y^{m}=n!(x>y,\gcd(x,y)=1,m\geq 3)}$

は m が 4 以外のときには解を持たず m =4 の場合にも有限個の解しか持たないことを示している。また

${\displaystyle m!\pm n!=x^{k}(m>n>0,k\geq 2)}$

の解は有限個であることも示している。その後Pollack & Shapiro (1973) が

${\displaystyle x^{4}-1=n!}$

は解を持たないことを示している。

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• Brocard, H. (1876), “Question 166”, Nouv. Corres. Math. 2: 287 .
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• Luca, Florian (2002), “The diophantine equation P(x) = n! and a result of M. Overholt”, Glasnik Matematički 37 (57): 269–273, http://web.math.hr/glasnik/37.2/37(2)-04.pdf .
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• Weisstein, Eric W. "Brocard's Problem". mathworld.wolfram.com (英語).
• Weisstein, Eric W. "Brown Numbers". mathworld.wolfram.com (英語).
• Copeland, Ed. “Brown Numbers”. Numberphile. Brady Haran. 2014年8月29日閲覧。