ブールの不等式

有限和の場合

有限個の事象に関するブールの不等式は、帰納法を使って証明することができる。

${\displaystyle n=1}$の場合について当然

${\displaystyle \mathbb {P} (A_{1})\leq \mathbb {P} (A_{1})}$

ということになる。

${\displaystyle n}$の場合に

${\displaystyle {\mathbb {P} }\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}{\mathbb {P} }(A_{i})}$

であると仮定する。

${\displaystyle \mathbb {P} (A\cup B)=\mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B)-\mathbb {P} (A\cap B)}$であり、和集合演算は結合則を満たすため、

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n+1}A_{i}\right)=\mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)+\mathbb {P} (A_{n+1})-\mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\cap A_{n+1}\right)}$

を得る。

そして、確率の第一公理によって、

${\displaystyle {\mathbb {P} }\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\cap A_{n+1}\right)\geq 0}$

であるため、

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n+1}A_{i}\right)\leq \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)+\mathbb {P} (A_{n+1})}$

を得て、したがって

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n+1}A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}\mathbb {P} (A_{i})+\mathbb {P} (A_{n+1})=\sum _{i=1}^{n+1}\mathbb {P} (A_{i})}$

を得る。

一般の場合

確率空間における${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\dots }$中のいかなる事象に対しても、

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i}A_{i}\right)\leq \sum _{i}\mathbb {P} (A_{i})}$

となる、ことを示す。

確率空間の公理の1つは、${\displaystyle B_{1},B_{2},B_{3},\dots }$が確率空間の「交わりを持たない」部分集合であるならば

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i}B_{i}\right)=\sum _{i}\mathbb {P} (B_{i})}$

となるというものである。これは「可算加法性」と呼ばれる。

一方、${\displaystyle B\subset A}$ならば、${\displaystyle \mathbb {P} (B)\leq \mathbb {P} (A)}$ であるから、確率分布の公理より、

${\displaystyle \mathbb {P} (A)=\mathbb {P} (B)+\mathbb {P} (A-B)}$

である。（ここで留意すべきは、右辺のどちらの項も非負である、という点である。）

さて、集合${\displaystyle A_{i}}$を、交わりを持たないよう変形する。

${\displaystyle B_{i}=A_{i}-\bigcup _{j=1}^{i-1}A_{j}.}$

とすると、${\displaystyle \{B_{i}\}}$ は互いに素であり、また${\displaystyle B_{i}\subset A_{i}}$であり、かつ

${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i}=\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}$

となる。

したがって、以下の式を演繹することができる。

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i}A_{i}\right)=\mathbb {P} \left(\bigcup _{i}B_{i}\right)=\sum _{i}\mathbb {P} (B_{i})\leq \sum _{i}\mathbb {P} (A_{i}).}$