プロホロフの定理

${\displaystyle (S,\rho )}$ を可分距離空間とする。 （ボレル σ-代数を備える）${\displaystyle S}$ 上で定義される確率測度の全体を ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ とする。

定理

1. ある確率測度の全体 ${\displaystyle K\subset {\mathcal {P}}(S)}$ が緊密であるための必要十分条件は、弱収束（英語版）位相を備える空間 ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ において ${\displaystyle K}$ の閉包が点列コンパクトであることである。
2. そのような弱収束位相を備える空間 ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ は、距離化可能である。
3. さらに ${\displaystyle (S,\rho )}$ は完備距離（したがって ${\displaystyle (S,\rho )}$ はポーランド空間）であると仮定する。このとき、弱収束位相と同値であるような ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ 上のある完備距離 ${\displaystyle d_{0}}$ が存在する。さらに、${\displaystyle K\subset {\mathcal {P}}(S)}$ が緊密であるための必要十分条件は、${\displaystyle K}$ の閉包が ${\displaystyle ({\mathcal {P}}(S),d_{0})}$ においてコンパクトであることである。

ユークリッド空間に対しては、次が成立する。

• ${\displaystyle (\mu _{n})}$ が ${\displaystyle k}$-次元ユークリッド空間上の確率測度の全体 ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{k})}$ 内の緊密な列であるなら、ある確率測度 ${\displaystyle \mu \in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{k})}$ に弱収束するようなある部分列 ${\displaystyle (\mu _{n_{k}})}$ が存在する。

• ${\displaystyle (\mu _{n})}$ が ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{k})}$ 内の緊密な列で、そのすべての弱収束する部分列 ${\displaystyle (\mu _{n_{k}})}$ が同一の極限 ${\displaystyle \mu \in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{k})}$ を持つものであるなら、列 ${\displaystyle (\mu _{n})}$ も ${\displaystyle \mu }$ に弱収束する。