ヘッセ標準形

注

簡単のため以下では三次元の場合を述べるが、同様のことは二次元あるいは高次元の場合でもほとんどそのまま通用する。

法線標準形の方程式 $${\displaystyle ({\vec {r}}-{\vec {a}})\cdot {\vec {n}}=0}$$ は位置ベクトル a→ をもつ任意の点 A を通り、n→ を法ベクトルとする平面 E を表す。法ベクトルの向きは a→⋅n→ ≥ 0 を満たすものと仮定する。法ベクトルをその大きさ n ≔ ‖ n→ ‖ で割って単位法ベクトル n→₀ = n→/n を得れば、式は $${\displaystyle ({\vec {r}}-{\vec {a}})\cdot {\vec {n}}_{0}=0}$$ となるから、d ≔ a→⋅n→₀ ≥ 0 と置けば、ヘッセ標準形 $${\displaystyle {\vec {r}}\cdot {\vec {n}}_{0}-d=0}$$ を得る。

図において、d は原点からの距離になる。実際、r→⋅n→₀ = d はこの平面上の任意の点が満足するのだから、特に原点から平面 E に下ろした垂線の足 Q も、r→ = r→_s の場合として満足する。点乗積の定義によれば $${\displaystyle d={\vec {r}}_{s}\cdot {\vec {n}}_{0}=|{\vec {r}}_{s}|\cdot |{\vec {n}}_{0}|\cdot \cos(0^{\circ })=|{\vec {r}}_{s}|\cdot 1=|{\vec {r}}_{s}|}$$ であって、r→_s の大きさ ‖ r→_s ‖ は原点からこの平面へ結んだ最短距離に等しいのであった。