ヘルムホルツ方程式

空間に関するヘルムホルツ方程式

${\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})A=0}$

の一般解は、変数分離によって求められる。

球座標では、一般解は

${\displaystyle A(r,\theta ,\phi )=\sum _{k}\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}\{a_{lm}j_{l}(kr)+b_{lm}n_{l}(kr)\}\,Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )}$

と表される。この解は波動方程式や拡散方程式の空間部分の解から出てくる。ここで j_l と n_l は球ベッセル関数で、 Y_l^m (θ, φ) は球面調和関数である。

2次元の極座標では、一般解は

${\displaystyle A(r,\theta )=\sum _{k}\sum _{n=0}^{\infty }\{a_{n}\cos(n\theta )+b_{n}\sin(n\theta )\}\,J_{n}(kr)}$

と表される。J_n はベッセル関数である。この解は原点で正則なものであり、より一般的な解は原点で正則でないもうひとつのベッセル関数 Y_n を含む。これは解を考える範囲として原点を含まない場合には考える必要がある。 この極座標の解は太鼓の膜の振動を表すのに用いられる。

以上の解はどれも一般解であり、特定の場合に適用するには境界条件が必要であることに注意されたい。

ヘルムホルツ方程式の近軸(paraxial)における表式は、解を${\displaystyle A({\boldsymbol {r}})\,e^{-jkz}}$の形と仮定すると

${\displaystyle \nabla _{\mathrm {T} }^{2}A-2jk{\frac {\partial A}{\partial z}}=0}$

となる。ここで

${\displaystyle \nabla _{\mathrm {T} }^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}}$

はラプラシアンの横(transverse)成分である。

この方程式は光学での応用が重要である。光学では、この方程式が放物面波(paraboloidal waves)やガウシアンビームの形の電磁波（光）の伝播についての解を与える。多くのレーザー装置が放射するビームはそのような形になっている。

近軸の近似では、電場の複素強度？(electric field complex magnitude) E は

${\displaystyle E({\boldsymbol {r}})=A({\boldsymbol {r}})\,e^{-jkz}}$

となる。ここで A は電場の複素振幅を表し、それに指数関数で表される正弦波的な変調がかかっている。

近軸の近似においては、電場の振幅 A と伝播方向の長さ z との間に一定の制限がかかる。それは

${\displaystyle \left|{\frac {\partial A}{\partial z}}\right|\ll |kA|}$

と

${\displaystyle \left|{\frac {\partial ^{2}A}{\partial z^{2}}}\right|\ll |k^{2}A|}$

である。これらの条件は、光学軸（z 軸）と波数ベクトルk とがなす角度 θ が十分に小さく

${\displaystyle \sin \theta \simeq \theta ,\quad \tan \theta \simeq \theta }$

が成り立つことと同値である。

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