波数ベクトル

Summarize Timeline Fact Check

波数ベクトルには2つの一般的な定義があり、大きさが因子2πだけ異なる。 1つ目の定義は物理学などで用いられ、もう一つの定義は結晶学などで用いられる。 ^[1] この記事ではそれらを「物理学の定義」と「結晶学の定義」とそれぞれ呼ぶ。

理想的な1次元の進行波は次の方程式に従う。

${\displaystyle \psi (x,t)=A\cos(kx-\omega t+\varphi )}$

ここで、

• xは位置。
• tは時間。
• ${\displaystyle \psi }$ (xとtの関数)は波を記述する攪乱（たとえば海洋波における${\displaystyle \psi }$は水の高さであり、音波における${\displaystyle \psi }$は空気圧である）。
• Aは波の振幅。
• ${\displaystyle \varphi }$は「位相角」で、2つの波がお互いにどれだけ同期していないかを記述する。
• ${\displaystyle \omega }$は波の時間的な角周波数で、単位時間あたりどれだけ沢山の振動が完了するかを記述する。周期${\displaystyle T}$と方程式${\displaystyle \omega =2\pi /T}$によって関連している。
• ${\displaystyle k}$は波の空間的な角周波数（波数）であり、単位空間あたりどれだけ沢山の振動が完了するかを記述する。波長と式${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$によって関連している。

この波動は+xの方向に速度（より正確には位相速度）${\displaystyle \omega /k}$で進行する。

結晶学において、同じ波動はわずかに異なる方程式を用いて記述される。 ^[2] 1次元と3次元ではそれぞれ、

${\displaystyle \psi (x,t)=A\cos(2\pi (kx-\nu t)+\varphi )}$

${\displaystyle \psi \left({\mathbf {r} },t\right)=A\cos \left(2\pi ({\mathbf {k} }\cdot {\mathbf {r} }-\nu t)+\varphi \right)}$

違いは、

• 角周波数${\displaystyle \omega }$の代わりに周波数${\displaystyle \nu }$が用いられる。これらは${\displaystyle 2\pi \nu =\omega }$の関係にある。この記事においてこの置き換えは重要ではないが、結晶学の一般的慣習を反映している。
• 波数kと波数ベクトルkは異なる方法で定義される。上述の物理学の定義では${\displaystyle k=|{\mathbf {k} }|=2\pi /\lambda }$であるが、一方ここでは${\displaystyle k=|{\mathbf {k} }|=1/\lambda }$である。

kの方向は以下で議論する。

波数ベクトルが指す方向は「波動の伝播の方向」とは区別しなければならない。 「波動の伝播の方向」は波動のエネルギー流れの方向であり、小さな波束が動く方向、つまり群速度の方向である。 光波では、これはポインティングベクトルの方向でもある。 一方で波数ベクトルは位相速度の方向を指す。 言い換えれば波数ベクトルは、定位相の面（波面とも呼ばれる）の法線方向を指す。

無損失等方性媒質(空気や全ての気体、ガラスのようないくつかの固体など)において、波数ベクトルの方向は波動の伝播の方向と全く同じである。 媒質の損失が大きい場合、一般的に波数ベクトルは波動の伝播の方向以外の方向を指す。 波数ベクトルが波動が伝播する方向と同じである条件は、波動が均一であることであり、媒質の損失が大きいときは必ずしもそうとは限らない。 均一な波動において定位相の面は、一定振幅の面でもある。 不均一な波動では、これら2つの種類の面は方向が異なる。 波数ベクトルは常に一定位相の面と垂直である。

例えば、非対称結晶中の光波や堆積岩中の音波のように、波動が異方性媒質中を進行するとき、波数ベクトルは波動伝播の方向を必ずしも指すわけではない。 ^{[3] [4]}

固体物理学において、結晶中の電子や正孔の「波数ベクトル」（k-ベクトルとも呼ばれる）は、その量子力学的な波動関数の波数ベクトルである。 それらの電子波は、通常のサイン波ではなく、サイン波である一種の「包絡関数（英語版）」を持ち、波数ベクトルは通常「物理学の定義」を用いてその包絡波を用いて定義される。 詳細はブロッホ波を参照。 ^[5]