ベルヌーイの不等式

r = 0 のとき、

${\displaystyle (1+x)^{0}\geq 1+0x\,}$

となり、これは 1 ≥ 1 なので与式は成立する。

次に、r = k の場合に与式が成立すると仮定する。

${\displaystyle (1+x)^{k}\geq 1+kx.\,}$

この両辺に ( 1 + x )　をかければ、( 1 + x ) ≥ 0 なので

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\qquad (1+x)(1+x)^{k}\geq (1+x)(1+kx)\quad \\&\iff (1+x)^{k+1}\geq 1+kx+x+kx^{2}\\&\iff (1+x)^{k+1}\geq 1+(k+1)x+kx^{2}.\end{aligned}}}$

となる。右辺 = 1 + (k + 1)x + kx² ≥ 1 + (k + 1)x である（kx² ≥ 0 なので）。したがって、 (1 + x)^{k + 1} ≥ 1 + (k + 1)x となり、 r = k + 1 の場合でも与式が成立することが示され、数学的帰納法により全ての rに対して成立することが示された。

指数 r は任意の実数に拡張することができる。 x > −1 であるならば、

r ≤ 0 もしくは r ≥ 1 の場合：

${\displaystyle (1+x)^{r}\geq 1+rx\!}$

0 ≤ r ≤ 1 の場合：

${\displaystyle (1+x)^{r}\leq 1+rx\!}$

がそれぞれ成立する。

この一般化は微分法を用いて証明することができる。先述した厳しい条件の式は、x ≠ 0 かつ r ≠ 0, 1 であるときに成立する。