ホフスタッター点

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ユークリッド幾何学において、 ホフスタッター点（ほふすたったーてん、Hofstadter points）とは三角形の中心の集合の一つである。そのうち二つはホフスタッター1点、ホフスタッター0点と呼ばれる有名点で、クラーク・キンバリングの「Encyclopedia of Triangle Centers」ではそれぞれX(359)、X(360)として登録されている^[1]。X(360)は、1992年、ダグラス・ホフスタッターによって発見された^[1]。

特別な場合

$△ ABC$ と実数 $r$ がある。

点 $A$ のある方向へ、線分 $BC$ を点 $B$ を中心に $rB$ 回転した線を $L BC$ 、点 $C$ を中心に $rC$ 回転した点を $L' BC$ とし、その二直線の交点を $A (r)$ とする。同様に $B (r)$ 、 $C (r)$ も定義する。 $A (r), B (r), C (r)$ の成す三角形は $△ ABC$ のホフスタッター $r$ 三角形（または $r$ ホフスタッター三角形）と呼ばれる^[2]^[1]。

ホフスタッター 1/3三角形は、第一モーリーの三角形と呼ばれる正三角形である。
ホフスタッター 1/2三角形は、単に内心となる。
ホフスタッター 2/3三角形は、第一モーリーの付属三角形である^[3]。

三線座標

ホフスタッター $r$ 三角形の各頂点の三線座標は以下の様に与えられる。 ${\begin{array}{ccccccc}A(r)&=&1&:&{\frac {\sin rB}{\sin(1-r)B}}&:&{\frac {\sin rC}{\sin(1-r)C}}\\[2pt]B(r)&=&{\frac {\sin rA}{\sin(1-r)A}}&:&1&:&{\frac {\sin rC}{\sin(1-r)C}}\\[2pt]C(r)&=&{\frac {\sin rA}{\sin(1-r)A}}&:&{\frac {\sin(1-r)B}{\sin rB}}&:&1\end{array}}$

ホフスタッター点

ホフスタッター点のアニメーション。 $H 0$ はホフスタッター0点で $H 1$ はホフスタッター1点. 赤い線は $0 < r < 1$ の範囲のホフスタッター $r$ 点の軌跡を表す。この軌跡は内心 $I$ を通る。

実数 $r$ について $△ ABC$ に対するホフスタッター $r$ 三角形の頂点を $A (r), B (r), C (r)$ とする。このとき $AA (r), BB (r), CC (r)$ は共点で、その点を $△ ABC$ のホフスタッター $r$ 点と言う^[4]。

特別な場合

ホフスタッター1/2点は内心^[5]
ホフスタッター2点は外心
ホフスタッター-1点は垂心
ホフスタッター1/3点は第一モーリー・テイラー・マール心X₃₅₇^[6]
ホフスタッター2/3点は第二モーリー・テイラー・マール心X₃₅₈

ホフスタッターr点の三線座標

ホフスタッター $r$ 点の三線座標は以下の様に与えられる。 ${\displaystyle {\frac {\sin rA}{\sin(A-rA)}}\$ ホフスタッター $r$ 点とホフスタッター $1- r$ 点は等角共役である。 $r$ が0,1,2でない整数の場合、ホフスタッター $2- r$ 点とホフスタッター $r$ 点は外接円に対する反転の関係にある^[5]。

ホフスタッター0点とホフスタッター1点

$r$ が0または1であるとき、単に上の式にそれを代入しても三線座標を得ることはできない。

ホフスタッター0点はホフスタッター $r$ 点を0に極限まで近づけたときに得られる三線座標の値が表す点として定義される。 ${\begin{array}{rccccc}\displaystyle \lim _{r\to 0}&{\frac {\sin rA}{\sin(A-rA)}}&:&{\frac {\sin rB}{\sin(B-rB)}}&:&{\frac {\sin rC}{\sin(C-rC)}}\\[4pt]\implies \displaystyle \lim _{r\to 0}&{\frac {\sin rA}{r\sin(A-rA)}}&:&{\frac {\sin rB}{r\sin(B-rB)}}&:&{\frac {\sin rC}{r\sin(C-rC)}}\\[4pt]\implies \displaystyle \lim _{r\to 0}&{\frac {A\sin rA}{rA\sin(A-rA)}}&:&{\frac {B\sin rB}{rB\sin(B-rB)}}&:&{\frac {C\sin rC}{rC\sin(C-rC)}}\end{array}}$ $\lim _{r\to 0}{\tfrac {\sin rA}{rA}}=\lim _{r\to 0}{\tfrac {\sin rB}{rB}}=\lim _{r\to 0}{\tfrac {\sin rC}{rC}}=1$ より ${\displaystyle \implies {\frac {A}{\sin A}}\$

ホフスタッター1点も同様にホフスタッター $r$ 点を1に極限まで近づけたときに得られる三線座標の値が表す点として定義される。 ${\begin{array}{rccccc}\displaystyle \lim _{r\to 1}&{\frac {\sin rA}{\sin(A-rA)}}&:&{\frac {\sin rB}{\sin(B-rB)}}&:&{\frac {\sin rC}{\sin(C-rC)}}\\[4pt]\implies \displaystyle \lim _{r\to 1}&{\frac {(1-r)\sin rA}{\sin(A-rA)}}&:&{\frac {(1-r)\sin rB}{\sin(B-rB)}}&:&{\frac {(1-r)\sin rC}{\sin(C-rC)}}\\[4pt]\implies \displaystyle \lim _{r\to 1}&{\frac {(1-r)A\sin rA}{A\sin(A-rA)}}&:&{\frac {(1-r)B\sin rB}{B\sin(B-rB)}}&:&{\frac {(1-r)C\sin rC}{C\sin(C-rC)}}\end{array}}$ $\lim _{r\to 1}{\tfrac {(1-r)A}{\sin(A-rA)}}=\lim _{r\to 1}{\tfrac {(1-r)B}{\sin(B-rB)}}=\lim _{r\to 1}{\tfrac {(1-r)C}{\sin(C-rC)}}=1$ より ${\displaystyle \implies {\frac {\sin A}{A}}\$

脚注

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