ボゴモロフ予想

数学において、フョードル・ボゴモロフ（英語版）(Fedor Bogomolov)に因んで名前の付いたボゴモロフ予想(Bogomolov conjecture)とは、次の予想を言う。

C を代数体 K 上定義された種数 g が 2 以上の代数曲線とし、${\displaystyle {\overline {K}}}$ を K の代数的閉体とし、C のそのヤコビ多様体 J への埋め込みを固定し、${\displaystyle {\hat {h}}}$ で豊富な対称的因子に付随した J 上のネロン・テイトの高さを表す。すると、ある ${\displaystyle \epsilon >0}$ が存在し、

集合 ${\displaystyle \{P\in C({\overline {K}}):{\hat {h}}(P)<\epsilon \}}$   が有限

となる。${\displaystyle {\hat {h}}(P)=0}$ と P が捩れ点であることは同値であるから、ボゴモロフ予想はマーニン・マンフォード予想を一般化した予想となる。元々のボゴモロフ予想は、エマニュエル・ウルモ（英語版）(Emmanuel Ullmo)と张寿武（英語版）(Shou-Wu Zhang)により、1998年に証明された。^[1] Zhang^[2] は、次の一般化された定理を証明した。

A を K 上に定義されたアーベル多様体とし、${\displaystyle {\hat {h}}}$ を豊富な対称的因子に付随する A 上のネロン・テイトの高さとする。部分多様体 ${\displaystyle X\subset A}$ が捩れ部分多様体(torsion subvariety)であるとは、その部分多様体が捩れ点によりアーベル多様体 A のアーベル部分多様体の変換である場合を言う。X が捩れ部分多様体ではない場合は、ある ${\displaystyle \epsilon >0}$ が存在し、

集合 ${\displaystyle \{P\in X({\overline {K}}):{\hat {h}}(P)<\epsilon \}}$   は A においてザリスキー稠密（英語版）(Zariski dense)ではない。