ボレル・パデ解析

次のように発散級数${\displaystyle f(x)}$が有限次までしかわかっていないとする。

${\displaystyle f(x)\sim a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}+O(x^{n})\quad (x\rightarrow 0)}$

このとき、この発散級数の収束半径は０でもよいとする。

まず、${\displaystyle f(x)}$のボレル変換${\displaystyle {\mathcal {B}}f(t)}$を

${\displaystyle {\mathcal {B}}f(t)\equiv \sum _{k=0}^{n}{\frac {a_{k}}{k!}}t^{n}}$

と計算する。このとき、変換された級数の収束半径が有限であるとしてよいのならば、パデ近似により、${\displaystyle f(x)}$のボレル変換${\displaystyle {\mathcal {B}}f(t)}$を

${\displaystyle {\mathcal {B}}f(t)\approx [n/m](t)}$

と近似できる。ここで、パデ近似が${\displaystyle {\mathcal {B}}f(t)}$の良い近似を与えていると考える。最後に、この近似関数のラプラス変換

${\displaystyle f(x)\approx \int _{0}^{\infty }e^{-t/x}[n/m](t)dt}$

を計算したものが、${\displaystyle f(x)}$のボレル・パデ解析またはボレル・パデ総和と呼ばれる${\displaystyle f(x)}$の近似関数である。部分分数分解を用いると、この積分は、指数積分によって表されることがわかるので、右辺を${\displaystyle x}$について再び展開すると、収束半径0の関数となる。

${\displaystyle f(x)}$の${\displaystyle x\rightarrow 0}$での漸近級数に加えて、${\displaystyle x\rightarrow \infty }$での漸近級数が

${\displaystyle f(x)\sim b_{0}+b_{1}/x+\dots +b_{m}/x^{m}+o(1/x^{m})\quad (x\rightarrow \infty )}$

と与えられている時、ボレル・パデ解析を拡張することで、${\displaystyle x\rightarrow 0}$での漸近級数と${\displaystyle x\rightarrow \infty }$での漸近級数を同時に再現するような近似的関数を求められることが知られている。この手法を2点ボレル・パデ解析と呼ぶ。2点ボレル・パデ解析のはじめての適用例は、アンダーソン転移の臨界指数の解析的見積もりで行われた^[2]。2点ボレル・パデ解析を行うための手順は、2点パデ近似と同様である^[3]。

${\displaystyle x\rightarrow \infty }$での漸近級数が、対数関数で

${\displaystyle f(x)\sim A\ln(x)+o(\ln x)\quad (x\rightarrow \infty )}$

のように与えられる場合も、${\displaystyle x\rightarrow 0}$での漸近級数と${\displaystyle x\rightarrow \infty }$での漸近級数を同時に再現するような近似的関数を求められる手法が存在する^[4]。

1. ↑ Deeb, Ahmad; Hamdouni, Aziz; Razafindralandy, Dina (2016-04). “Comparison between Borel-Padé summation and factorial series, as time integration methods”. Discrete and Continuous Dynamical Systems - Series S 9 (2): 393–408. doi:10.3934/dcdss.2016003. https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02086772. 
2. ↑ Ueoka, Yoshiki; Slevin, Keith (2014-07-24). “Dimensional Dependence of Critical Exponent of the Anderson Transition in the Orthogonal Universality Class”. Journal of the Physical Society of Japan 83 (8): 084711. doi:10.7566/JPSJ.83.084711. ISSN 0031-9015. https://journals.jps.jp/doi/10.7566/JPSJ.83.084711. 
3. ↑ 上岡, 良季. 多点総和法入門 高校生でもわかる！！ココと無限のかなたをつなぐ現代応用数学: テイラー展開から微分方程式の応用まで. https://www.amazon.co.jp/dp/B08DV9TZVD/ 
4. ↑ Ueoka, Yoshiki; Slevin, Keith (2017-08-28). “Borel–Padé Re-summation of the β-functions Describing Anderson Localisation in the Wigner–Dyson Symmetry Classes”. Journal of the Physical Society of Japan 86 (9): 094707. doi:10.7566/JPSJ.86.094707. ISSN 0031-9015. https://journals.jps.jp/doi/abs/10.7566/JPSJ.86.094707.