ボールウェイン積分

まず、関数${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)}$の広義積分

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\ dx}$

を考える、この積分結果は${\displaystyle \pi /2}$となる。この積分に${\displaystyle {\frac {x}{3}}}$の項、${\displaystyle {\frac {x}{5}}}$の項、${\displaystyle {\frac {x}{7}}}$の項、⋯と項を掛けていっても、積分結果は${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$が維持される。

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\ dx={\frac {\pi }{2}}\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\ dx={\frac {\pi }{2}}\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}{\frac {\sin(x/5)}{x/5}}\ dx={\frac {\pi }{2}}\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/11)}{x/11}}{\frac {\sin(x/13)}{x/13}}\ dx={\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}}$

しかし、${\displaystyle {\frac {x}{15}}}$の項を掛けたとき、積分結果は、

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/13)}{x/13}}{\frac {\sin(x/15)}{x/15}}\,dx&={\frac {467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}}\pi \\&={\frac {\pi }{2}}-{\frac {6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}}\pi \\&\simeq {\frac {\pi }{2}}-2.31\times 10^{-11}\end{aligned}}}$

となり、${\displaystyle \pi /2}$よりもわずかに減少する。その差は${\displaystyle {\frac {6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}}\pi }$（約${\displaystyle 2.31\times 10^{-11}}$）と、とても小さい。