ボールウェイン積分

まず、関数${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)}$の広義積分

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\ dx}$

を考える、この積分結果は${\displaystyle \pi /2}$となる。この積分に${\displaystyle {\frac {x}{3}}}$の項、${\displaystyle {\frac {x}{5}}}$の項、${\displaystyle {\frac {x}{7}}}$の項、⋯と項を掛けていっても、積分結果は${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$が維持される。

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\ dx={\frac {\pi }{2}}\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\ dx={\frac {\pi }{2}}\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}{\frac {\sin(x/5)}{x/5}}\ dx={\frac {\pi }{2}}\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/11)}{x/11}}{\frac {\sin(x/13)}{x/13}}\ dx={\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}}$

しかし、${\displaystyle {\frac {x}{15}}}$の項を掛けたとき、積分結果は、

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/13)}{x/13}}{\frac {\sin(x/15)}{x/15}}\,dx&={\frac {467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}}\pi \\&={\frac {\pi }{2}}-{\frac {6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}}\pi \\&\simeq {\frac {\pi }{2}}-2.31\times 10^{-11}\end{aligned}}}$

となり、${\displaystyle \pi /2}$よりもわずかに減少する。その差は${\displaystyle {\frac {6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}}\pi }$（約${\displaystyle 2.31\times 10^{-11}}$）と、とても小さい。

一般には、3,5,...という数に限らず、それらの数の逆数の和が1より小さい任意の実数たちを用いても、同様に積分値がπ/2となる。上の例では、1/3+1/5+...+1/13<1だが、1/3+1/5+...+1/15>1である。

より長い列の例を挙げる。

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}\,dx=\pi /2,}$

だが、

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}{\frac {\sin(x/113)}{x/113}}\,dx<\pi /2,}$

である。これらの例とともに、このようなことが起こる理由の直観的な説明も示されている^[1]。

/* 上記の最初の例 */
f(n) := if n=1 then sin(x)/x else f(n-2) * (sin(x/n)/(x/n));
for n from 1 thru 15 step 2 do　(
  print("f(", n, ")=", f(n) ),　
  print("integral of f for n=", n, " is ", integrate(f(n), x, 0, inf))
);

/* 上記の二つ目の例 */
for n from 1 thru 19 step 2 do　(
  print("g(", n, ")=", 2*cos(x)*f(n) ),　
  print("integral of g for n=", n, " is ", integrate(2*cos(x)*f(n), x, 0, inf))
);