ポスト・ニュートン展開

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以下では Maggiore (2008) に従い、展開パラメータを重力源の速度 ${\displaystyle v}$ と光速 ${\displaystyle c}$ の比 ${\displaystyle \epsilon$ :=v/c} とし、${\displaystyle {\mathcal {O}}(\epsilon ^{n})}$ の量を添え字 ${\displaystyle (n)}$ により表す。また、物質場は非相対論的でありそのエネルギー・運動量テンソル ${\displaystyle T^{\mu \nu }}$ は ${\displaystyle \left|T^{ij}/T^{00}\right|={\mathcal {O}}(\epsilon ^{2})}$ を満たすものと仮定する。また光速 ${\displaystyle c}$ を1とする単位系を採用する。

物質場が存在しないミンコフスキ時空では計量テンソル ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ は ${\displaystyle g_{00}=-1}$, ${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}}$ と書けるため、ポスト・ニュートン展開ではこの計量に対する補正項を ${\displaystyle \epsilon }$ のべき級数という形で求めることになる。重力波放射を無視する近似では、時間反転対称性のため例えば ${\displaystyle g_{00}}$ には ${\displaystyle \epsilon }$ の奇数次の項は現れないため、この展開を次のように表示することができる^[2]。

${\displaystyle g_{00}=-1+{}^{(2)}g_{00}+{}^{(4)}g_{00}+{}^{(6)}g_{00}+\cdots }$

${\displaystyle g_{0i}={}^{(3)}g_{00}+{}^{(5)}g_{00}+\cdots }$

${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}+{}^{(2)}g_{00}+{}^{(4)}g_{00}+\cdots }$

同様に、エネルギー・運動量テンソルは次の形に展開される。

${\displaystyle T^{00}={}^{(0)}T^{00}+{}^{(2)}T^{00}+\cdots }$

${\displaystyle T^{0i}={}^{(1)}T^{00}+{}^{(3)}T^{00}+\cdots }$

${\displaystyle T^{ij}={}^{(2)}T^{00}+{}^{(4)}T^{00}+\cdots }$

アインシュタイン方程式に上記展開を代入し ${\displaystyle \epsilon }$ のべきで整理すると、調和ゲージ条件（De Donderゲージとも呼ぶ） ${\displaystyle \partial _{\mu }\left({\sqrt {-g}}g^{\mu \nu }\right)=0}$ のもとで、時間成分の最低次の項からは ${\displaystyle {}^{(2)}g_{00}}$ に関する方程式

${\displaystyle \nabla ^{2}{}^{(2)}g_{00}=-8\pi G{}^{(0)}T^{00}}$

が導かれる^[3]。${\displaystyle T^{00}}$ は物質場のエネルギー密度であることから、この結果は計量の最低次の補正項 ${\displaystyle {}^{(2)}g_{00}}$ はニュートン理論における重力ポテンシャル ${\displaystyle \phi (t,x)=-G\int {\frac {{}^{(0)}T^{00}(t,x')}{|x-x'|}}d^{3}x'}$ と

${\displaystyle {}^{(2)}g_{00}=-2\phi }$

という関係にあることを示している。同様に、アインシュタイン方程式の空間成分から ${\displaystyle {}^{(2)}g_{ij}}$ が

${\displaystyle {}^{(2)}g_{ij}=-2\phi \delta _{ij}}$

と表示できることが従う^[4]。

一方、アインシュタイン方程式の ${\displaystyle (0,i)}$ 成分の最低次の項は

${\displaystyle \nabla ^{2}{}^{(3)}g_{0i}=16\pi G{}^{(1)}T^{0i}}$

という方程式であり、${\displaystyle {}^{(3)}g_{0i}}$ はある種のベクトルポテンシャル

${\displaystyle {}^{(3)}g_{0i}=\zeta _{i},\ \ \zeta _{i}(t,x)=-4G\int {\frac {{}^{(1)}T^{0i}(t,x')}{|x-x'|}}d^{3}x'}$

に等しいことが導かれる^[4]。なお ${\displaystyle \phi }$ と ${\displaystyle \zeta _{i}}$ は独立ではなく、ゲージ条件に対応する拘束条件 ${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {\zeta } =0}$ を満足する^[5]