ポーヤの計数定理

集合${\displaystyle D_{1}}$上の輪指数${\displaystyle P(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})}$を持つ置換群をGとする。D₁からD₂への写像f,gに対して${\displaystyle f(\pi (x))=g(x)}$となる${\displaystyle \pi }$が存在しないとき、fとgは異なるとする。このとき、D1からD2へのことなるものの個数は $${\displaystyle P(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})={\frac {1}{|G|}}\sum _{\pi \in G}|D_{2}|^{k(\pi )}}$$ となる。

ここで、${\displaystyle |D_{1}|=n,|D_{2}|=m}$とすると、${\displaystyle |P(x_{k})|=m^{n}}$となり、 $${\displaystyle P(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})={\frac {1}{|G|}}\sum _{\pi \in G}|D_{2}|^{k(\pi )}={\frac {1}{|G|}}\sum _{\pi \in G}m^{k(\pi )}}$$ である。

立方体を2色で彩色するときの仕方の数を数える。

立方体abcd-efghを考える。面abcdを1、面abefを2、面bcfgを3、面adehを4、面cdhgを5、面efghを6と名づける。このとき、${\displaystyle |G|=24}$となり、 $${\displaystyle P(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6})={\frac {1}{24}}(x_{1}^{6}+6x_{1}^{2}x_{4}+6x_{1}^{2}x_{2}^{2}+8x_{3}^{2})}$$ ここで、${\displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}=x_{5}=x_{6}=2}$（2色で塗るため）なので $${\displaystyle P(2,2,2,2,2,2)=10}$$ となる。