マルコフの不等式

マルコフの不等式は、測度論的には、(X, Σ, μ) を測度空間とし、f を拡張実数値（無限大もとりうる）可測関数とし、t > 0 とすれば、

${\displaystyle \mu (\{x\in X|\,|f(x)|\geq t\})\leq {1 \over t}\int _{X}|f|\,d\mu }$

であることを述べる。空間の測度が 1 である特別な場合（つまり確率空間である）には、次のように言い換えられる：

X を任意の確率変数とし、a > 0 とすると、

${\displaystyle {\textrm {Pr}}(|X|\geq a)\leq {\frac {{\textrm {E}}(|X|)}{a}}}$

測度空間が確率空間である場合は証明が単純で分かりやすいので、この場合の証明をまず別に示そう。

任意の事象 E に対して、I_E を E の特性確率変数、つまり E が起きるならば I_E = 1、そうでないならば = 0 であるとする。すると、事象 X ≥ a が起きるならば I_{(X ≥ a)} = 1 であり、X < a ならば I_{(X ≥ a)} = 0 である。そこで

${\displaystyle aI_{(|X|\geq a)}\leq |X|}$

ゆえに

${\displaystyle \operatorname {E} (aI_{(|X|\geq a)})\leq \operatorname {E} (|X|)}$

ここでこの不等式の左辺は

${\displaystyle a\operatorname {E} (I_{(|X|\geq a)})=a\Pr(|X|\geq a)\,}$

と同じであることが解る。従って

${\displaystyle a\Pr(|X|\geq a)\leq \operatorname {E} (|X|)\,}$

となり、 a > 0 だから、両辺を a で割ればよい。

任意の可測集合 A に対して、1_A をその特性関数、つまり x ∈ A ならば 1_A(x) = 1 、そうでなければ 0 としよう。A_t を A_t = {x ∈ X| |f(x)| ≥ t} として定義すれば、

${\displaystyle 0\leq t\,1_{A_{t}}\leq |f|1_{A_{t}}\leq |f|}$

となり、ゆえに

${\displaystyle \int _{X}t\,1_{A_{t}}\,d\mu \leq \int _{A_{t}}|f|\,d\mu \leq \int _{X}|f|\,d\mu }$

ここで、この不等式の左辺は

${\displaystyle t\int _{X}1_{A_{t}}\,d\mu =t\mu (A_{t})}$

と同じであることに注意しよう。すると

${\displaystyle t\mu (\{x\in X|\,|f(x)|\geq t\})\leq \int _{X}|f|\,d\mu }$

であり、また t > 0 であるから、両辺を t で割れば

${\displaystyle \mu (\{x\in X|\,|f(x)|\geq t\})\leq {1 \over t}\int _{X}|f|\,d\mu }$

となる。