有理型関数

多項式関数は正則であるから、例えば ${\displaystyle f(z)={\frac {z^{3}-2z+1}{z^{5}+3z-1}}}$ のような有理関数は全て C 上有理型である。また、関数 ${\displaystyle f(z)={\frac {\exp z}{z}}}$ や ${\displaystyle f(z)={\frac {\sin z}{(z-1)^{2}}}}$ も C 上有理型で、ガンマ関数やリーマンのゼータ関数も同様である。

一方、対数関数 ${\displaystyle f(z)=\log z}$ や ${\displaystyle f(z)=\exp \left({\frac {1}{z}}\right)}$ は C 上有理型でない。例えば後者は ${\displaystyle z=0}$ に真性特異点を持つ。

• 有界閉領域上で定義される 0 でない有理型関数は、零点も極も有限個しか持たない。
• 解析接続を使って除きうる特異点を解消してやれば、有理型関数同士で四則演算をとったものはやはり有理型である（勿論除法に関して、定数関数 ${\displaystyle 0}$ で除することは除く）。従って、（同じ領域で定義される）有理型関数の全体の成す集合は体を成す。この体は複素数体の拡大体である。

リーマン面の言葉で言えば、有理型関数というのは、「リーマン球面への正則関数であって、常に ${\displaystyle \infty }$ の値をとる定数関数ではないもの」ということと同じである。このとき有理型関数の極とはリーマン球面の無限遠点 ${\displaystyle \infty }$ へ移される複素数のことである。

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• 関数 (数学)
• 正則関数