ミンコフスキー・シュタイナーの公式

"十分素性の良い"集合${\displaystyle A}$について、数量${\displaystyle \lambda (\partial A)}$は確かに${\displaystyle A}$の境界${\displaystyle \partial A}$の${\displaystyle (n-1)}$次元の測度に対応する。フェデラー (1969)はこの問題を完全に解決している。

${\displaystyle A}$が凸集合であるとき、上記の上極限は真に極限となる。これは

${\displaystyle \mu \left(A+{\overline {B_{\delta }}}\right)=\mu (A)+\lambda (\partial A)\delta +\sum _{i=2}^{n-1}\lambda _{i}(A)\delta ^{i}+\omega _{n}\delta ^{n},}$

を示すことができる。ここで${\displaystyle \lambda _{i}}$は${\displaystyle A}$のある連続写像（Quermassintegralsを見よ）で、${\displaystyle \omega _{n}}$は${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$の単位球の測度（体積）である。

${\displaystyle \omega _{n}={\frac {2\pi ^{n/2}}{n\Gamma (n/2)}},}$

単位球面の体積はガンマ関数${\displaystyle \Gamma }$を用いて上の式で表される。

${\displaystyle A={\overline {B_{R}}}}$とすると、次の半径${\displaystyle R}$の球面の表面積と体積に関する有名公式を得られる。 ${\displaystyle S_{R}:=\partial B_{R}}$について、

${\displaystyle \lambda (S_{R})=\lim _{\delta \to 0}{\frac {\mu \left({\overline {B_{R}}}+{\overline {B_{\delta }}}\right)-\mu \left({\overline {B_{R}}}\right)}{\delta }}}$

${\displaystyle =\lim _{\delta \to 0}{\frac {[(R+\delta )^{n}-R^{n}]\omega _{n}}{\delta }}}$

${\displaystyle =nR^{n-1}\omega _{n},}$

• Dacorogna, Bernard (2004). Introduction to the Calculus of Variations. London: Imperial College Press. ISBN 1-86094-508-2 
• Federer, Herbert (1969). Geometric Measure Theory. New-York: Springer-Verlag