公式

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• 展開・因数分解公式:

  ${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$

  ${\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}}$

  ${\displaystyle a^{n}-1=(a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+\cdots +a+1)}$

  ${\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}(=\sum _{k=0}^{n}{}_{n}{\text{C}}_{k}a^{n-k}b^{k})}$

• 二次方程式 ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ の解の公式:

  ${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$

• ピタゴラスの定理:

  ${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$

  ${\displaystyle a,b,c}$ は直角三角形の三辺の長さ。ただし ${\displaystyle c}$ を斜辺とする。

  この定理から三角関数における次の等式も導かれる。

  ${\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1}$

• ヘロンの公式

  ${\displaystyle S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}$

  ${\displaystyle a,b,c}$ は三角形の三辺の長さ。この三角形の面積を ${\displaystyle S}$ とする。

  ここで、${\displaystyle s}$ は半周長で、次式で定義される。

  ${\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}$

• 複素解析におけるオイラーの公式: ${\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta }$
• スターリングの近似

  ${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({n \over e}\right)^{n}.}$

  ただし、${\displaystyle n}$ は自然数で、${\displaystyle n!}$ は ${\displaystyle n}$ の階乗を表す。

• 三角関数の加法定理（加法公式）

  ${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }$

  ${\displaystyle \sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta }$

  ${\displaystyle \cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }$

  ${\displaystyle \cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta }$

  ${\displaystyle \tan(\alpha +\beta )={\frac {\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }}}$

  ${\displaystyle \tan(\alpha -\beta )={\frac {\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }}}$

• 余弦定理

  △ABC で a = BC, b = CA, c = AB, α = ∠CAB, β = ∠ABC, γ = ∠BCA とするとき、

  a² = b² + c² − 2bc cos α

  b² = c² + a² − 2ca cos β

  c² = a² + b² − 2ab cos γ

• ベクトル解析におけるストークスの定理

  ${\displaystyle \iint _{S}\mathrm {rot} \,{\boldsymbol {A}}\cdot {\boldsymbol {n}}dS=\oint _{\partial S}{\boldsymbol {A}}\cdot d{\boldsymbol {s}}}$

物理法則を表した基礎方程式が広く知られる。

• ニュートンの運動方程式

  ${\displaystyle m{\frac {d^{2}{\boldsymbol {r}}}{dt^{2}}}={\boldsymbol {F}}}$

• マクスウェルの方程式

  ガウスの法則 ${\displaystyle \mathrm {div} \,{\boldsymbol {D}}=\rho }$

  ガウスの法則 ${\displaystyle \mathrm {div} \,{\boldsymbol {B}}=0}$

  ファラデーの電磁誘導の法則 ${\displaystyle \mathrm {rot} \,{\boldsymbol {E}}=-{\frac {\partial {\boldsymbol {B}}}{\partial t}}}$

  アンペールの法則 ${\displaystyle \mathrm {rot} \,{\boldsymbol {H}}=j+{\frac {\partial {\boldsymbol {D}}}{\partial t}}}$

公式は定理であるから、一度その式が成り立つことを（場合によっては変数に制限を加えて）証明すれば、次に同じ問題に遭遇したときには式に現れる変数に、その状況に応じた値を代入するだけで答えが求まるため、計算や考察の手間を省くことができる。

しかし、公式を適用できる場面でなければ公式は使用できず、公式が適用可能かどうかはその公式の証明の内容が握っている。

初等教育においては、公式を知っていれば直ちに解答を得るような問題に、基礎演習として触れる機会が少なくない。

文部科学省が定める「学習指導要領」では、数学教育の目標として、知識・技能は、単に事実的な知識として暗記するのではなく、「なぜそうなるのか」という理由と結びつけて理解することが重要である。^[1]とあり、単なる知識の習得だけでなく、「数学的な思考力・判断力・表現力」の育成を重視している。つまり、公式を暗記するだけでなく、その「成り立ち」を理解し、活用する力を求めている。公式に依存しすぎる学習は、この指導要領が掲げる「未知の状況に対応する力」を養えないという観点から、客観的な問題点として扱われる。

有用な公式を多数集めた公式集と呼ばれる本が市販されている。そのような本に載っている公式の数は膨大であり、かつそれぞれの形も複雑である。

数学の公式は、その物事を理解していなくても、変数に数値を入れて計算すれば必要な数値が得られる解決策であるため、比喩的に「問題を簡単に解決することができる魔法のようなもの」というような意味で用いられることがある。同様な意味で「方程式」という言葉が用いられることも多い（ただし、方程式は単に未知数を含む等式という意味であり、すべてが解決しているわけではない。）。