ヤコビの二平方定理

テータ関数の比は楕円関数（二重周期を持つ有理型関数）になり、楕円関数の導関数も楕円関数になるから、

${\displaystyle {\begin{aligned}F(v)&={\frac {\partial }{\partial {v}}}\left({\frac {\vartheta _{1}(v,\tau )}{\vartheta _{2}(v,\tau )}}\right)={\frac {\vartheta _{1}'(v,\tau )\vartheta _{2}(v,\tau )-\vartheta _{1}(v,\tau )\vartheta _{2}'(v,\tau )}{\vartheta _{2}(v,\tau )^{2}}}\\G(v)&=\left({\frac {\vartheta _{3}(v,\tau )}{\vartheta _{2}(v,\tau )}}\right)\left({\frac {\vartheta _{4}(v,\tau )}{\vartheta _{2}(v,\tau )}}\right)={\frac {\vartheta _{3}(v,\tau )\vartheta _{4}(v,\tau )}{\vartheta _{2}(v,\tau )^{2}}}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle F(v)}$と${\displaystyle G(v)}$は共に楕円関数である。且つ、

${\displaystyle {\begin{aligned}&\vartheta _{1}'\left(v+{\frac {1}{2}}+{\frac {\tau }{2}}\right)=\vartheta _{2}'\left(v+{\frac {1}{2}}+{\frac {\tau }{2}}\right)=0\\&\vartheta _{1}'\left(v+{\frac {\tau }{2}}\right)=\vartheta _{2}'\left(v+{\frac {\tau }{2}}\right)=0\\\end{aligned}}}$

であるから、${\displaystyle G(v)=0}$となるところにおいて悉く${\displaystyle F(v)=0}$となり、リウヴィルの定理によって${\displaystyle F(v)/G(v)}$は定数である。${\displaystyle v\to 0}$として

${\displaystyle {\begin{aligned}&\vartheta _{1}(0,\tau )=0\\&\vartheta _{1}'(0,\tau )=\pi \vartheta _{2}(0,\tau )\vartheta _{3}(0,\tau )\vartheta _{4}(0,\tau )\\\end{aligned}}}$

により、${\displaystyle F(0)=\pi \vartheta _{2}(0,\tau )^{2}G(0)}$を得る。従って、

${\displaystyle F\left(v\right)={\frac {\pi \vartheta _{2}(0,\tau )^{2}\vartheta _{3}(v,\tau )\vartheta _{4}(v,\tau )}{\vartheta _{2}(v,\tau )^{2}}}}$

である。右辺のテータ関数を無限乗積に展開し、${\displaystyle v={\tfrac {1}{4}}}$を代入し、${\displaystyle q=e^{{\pi }i\tau }}$と書くと

${\displaystyle {\begin{aligned}F\left({\tfrac {1}{4}}\right)&={\frac {\pi \left(2q^{1/4}\right)^{2}}{\left(2q^{1/4}\right)^{2}\cos ^{2}{\tfrac {\pi }{4}}}}\prod _{m=1}^{\infty }{\frac {(1-q^{2m})^{2}(1+q^{2m})^{4}(1-q^{2m})(1+iq^{2m-1})(1-iq^{2m-1})(1-q^{2m})(1-iq^{2m-1})(1+iq^{2m-1})}{(1-q^{2m})^{2}(1+iq^{2m})^{2}(1-iq^{2m})^{2}}}\\&=2\pi \prod _{m=1}^{\infty }{\frac {(1-q^{2m})^{2}(1+q^{2m})^{4}(1+iq^{2m-1})^{2}(1-iq^{2m-1})^{2}}{(1+iq^{2m})^{2}(1-iq^{2m})^{2}}}\\&=2\pi \prod _{m=1}^{\infty }{\frac {(1-q^{4m})^{2}(1+q^{2m})^{2}(1+q^{4m-2})^{2}}{(1+q^{4m})^{2}}}\\&=2\pi \prod _{m=1}^{\infty }{\frac {(1-q^{4m})^{2}(1+q^{4m})^{2}(1+q^{4m-2})^{2}(1+q^{4m-2})^{2}}{(1+q^{4m})^{2}}}\\&=2\pi \prod _{m=1}^{\infty }(1-q^{4m})^{2}(1+q^{4m-2})^{4}\\\end{aligned}}}$

となり、ヤコビの三重積の公式により

${\displaystyle {\begin{aligned}F\left({\tfrac {1}{4}}\right)&=2\pi \left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{2n^{2}}\right)^{2}=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{2(n^{2}+m^{2})}\end{aligned}}}$

となる。一方、

${\displaystyle {\begin{aligned}&\vartheta _{2}\left(v\right)=\vartheta _{1}\left({\tfrac {1}{2}}-v\right)\\&\vartheta _{2}'\left(v\right)=\vartheta _{1}'\left({\tfrac {1}{2}}-v\right)\\\end{aligned}}}$

であるから

${\displaystyle {\begin{aligned}F\left({\tfrac {1}{4}}\right)&={\frac {\vartheta _{1}'\left({\tfrac {1}{4}}\right)\vartheta _{2}\left({\tfrac {1}{4}}\right)-\vartheta _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)\vartheta _{2}'\left({\tfrac {1}{4}}\right)}{\vartheta _{2}\left({\tfrac {1}{4}}\right)^{2}}}={\frac {2\vartheta _{1}'\left({\tfrac {1}{4}}\right)}{\vartheta _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)}}\\\end{aligned}}}$

であり、テータ関数の対数微分の公式により

${\displaystyle {\begin{aligned}F\left({\tfrac {1}{4}}\right)&=2\pi \cot {\frac {\pi }{4}}+8\pi \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{2n}}{1-q^{2n}}}\sin {\frac {\pi {n}}{2}}\\&=2\pi +8\pi \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {q^{2(2k+1)}}{1-q^{2(2k+1)}}}(-1)^{k}\qquad (n\to 2k+1)\\&=2\pi +8\pi \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\sum _{j=1}^{\infty }q^{2j(2k+1)}\\\end{aligned}}}$

である。以上により、

${\displaystyle {\frac {F\left({\tfrac {1}{4}}\right)}{2\pi }}=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{2(n^{2}+m^{2})}=1+4\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\sum _{j=1}^{\infty }q^{2j(2k+1)}}$

が得られ、${\displaystyle q^{2N}}$の係数を比較することにより、

${\displaystyle r_{2}(N)=4\sum _{2{\nmid }d{\mid }N}(-1)^{\frac {d-1}{2}}}$

が得られる。

• 二個の平方数の和
• ヤコビの四平方定理

1. ↑ Hardy & Write, 1938, An Introduction to the Theory of Numbers