ユークリッド・オイラーの定理

自然数^{[注 1]} n について σ(n) で n の約数の総和を表すことにする。例えば σ(6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12である。これは約数関数と呼ばれるもので、ユークリッド・オイラーの定理の証明において重要な役割を果たす。約数関数は以下の性質を持つ^[5]。

• n が 1 であるとき、またそのときに限り、σ(n) = n である。
• n が完全数であるとき、またそのときに限り、σ(n) = 2n である。
• n が素数であるとき、またそのときに限り、σ(n) = n + 1 である。
• 乗法的関数である。すなわち、m と n が互いに素ならば、σ(mn) = σ(m) σ(n) である。

2ⁿ − 1 が素数ならば偶数 N = 2^n − 1(2ⁿ − 1) が完全数であることは、以下のように証明される^[2]。

1. 2ⁿ − 1 が素数となるとき n ≥ 2 であるから 2ⁿ − 1 ≥ 3 であり、2^n − 1 と 2ⁿ − 1 は互いに素であるので、σ(N) = σ(2^n − 1) σ(2ⁿ − 1) である。
2. σ(2^n − 1) = 1 + 2 + 2² + ⋯ + 2^n − 1 = 2ⁿ − 1 である。
3. 2ⁿ − 1 は素数なので σ(2ⁿ − 1) = (2ⁿ − 1) + 1 = 2ⁿ
4. 以上より、σ(N) = σ(2^n − 1) σ(2ⁿ − 1) = (2ⁿ − 1) ⋅ 2ⁿ = 2N なので N = 2^n − 1(2ⁿ − 1) は完全数である。

偶数の完全数 N が素数 2ⁿ − 1 を用いて N = 2^n − 1(2ⁿ − 1) と表せることは、以下のように証明される^[2]。

1. 偶数は素因数に 2 を含むので、ある自然数 n ≥ 2 と正の奇数 m を用いて N = 2^n − 1m と表せる。
2. 2^n − 1 と m は互いに素であるから σ(N) = σ(2^n − 1) σ(m) = (2ⁿ − 1) σ(m) である。
3. また、N は完全数であるので σ(N) = 2N である。
4. 2.と3.より σ(N) = 2N = (2ⁿ − 1) σ(m) である。
5. 4. を変形して σ(m) = 2N/2ⁿ − 1 = 2ⁿm/2ⁿ − 1 = m + m/2ⁿ − 1 となる。
6. m も σ(m) も自然数なので、d = m/2ⁿ − 1 は自然数であって、しかも m を自然数 2ⁿ − 1 で割って得られるので m の約数でもある。
7. 1 が必ず m の約数であるから、仮に d ≠ 1 とすると σ(m) ≥ m + d + 1 > m + d となって5.に矛盾する。そのため d = 1 である。
8. d = 1 であるので、5.より σ(m) = m + 1 であり、m = 2ⁿ − 1 は素数であって、N = 2^n − 1(2ⁿ − 1) が成り立つ。

• 木村達雄、竹内光弘、宮本雅彦、森田純『代数の魅力』数学書房、2009年9月10日。ISBN 978-4-903342-11-5。