ユークリッド位相

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$上のユークリッドノルムは非負の値を取る関数 ${\displaystyle \|\cdot \|:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ で以下のように定義される:$${\displaystyle \left\|\left(p_{1},\ldots ,p_{n}\right)\right\|~:=~{\sqrt {p_{1}^{2}+\cdots +p_{n}^{2}}}.}$$他のノルム同様、 ユークリッドノルムから距離が${\displaystyle d(p,q)=\|p-q\|}$で定義される距離空間が生成される。ユークリッドノルムから生成される距離 ${\displaystyle d:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$はユークリッド距離と呼ばれる。そして二点${\displaystyle p=\left(p_{1},\ldots ,p_{n}\right)}$と${\displaystyle q=\left(q_{1},\ldots ,q_{n}\right)}$は:$${\displaystyle d(p,q)~=~\|p-q\|~=~{\sqrt {\left(p_{1}-q_{1}\right)^{2}+\left(p_{2}-q_{2}\right)^{2}+\cdots +\left(p_{i}-q_{i}\right)^{2}+\cdots +\left(p_{n}-q_{n}\right)^{2}}}.}$$任意の距離空間において、開球がその空間上の位相の基底を形成する。^[1] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$上のユークリッド位相はこれらの球から生成される。 すなわち、${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$上のユークリッド位相の開集合は(任意の)開球${\displaystyle B_{r}(p)}$の和集合で与えられる。ここで${\displaystyle B_{r}(p)}$は、${\displaystyle B_{r}(p):=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:d(p,x)<r\right\}(0<r\in \mathbb {R} ,p\in \mathbb {R} ^{n})}$

(${\displaystyle d}$はユークリッド距離)で定義される。