ラプラス原理

A をルベーグ可測な d 次元のユークリッド空間 R^d の部分集合とし、可測関数 φ : R^d → R について

${\displaystyle \int _{A}e^{-\varphi (x)}\,\mathrm {d} x<+\infty }$

であるとする。このとき、以下の関係が成り立つ。

${\displaystyle \lim _{\theta \to +\infty }{\frac {1}{\theta }}\log \int _{A}e^{-\theta \varphi (x)}\,\mathrm {d} x=-\mathop {\mathrm {ess\,inf} } _{x\in A}\varphi (x).}$

ここで ess inf は本質的下限 (essential infimum) を表す。充分大きな θ について、上の関係から次のような漸近表現が得られる。

${\displaystyle \int _{A}e^{-\theta \varphi (x)}\,\mathrm {d} x\approx \exp \left(-\theta \mathop {\mathrm {ess\,inf} } _{x\in A}\varphi (x)\right).}$

ラプラス原理は以下に与える確率測度 P_θ の族

${\displaystyle \mathbf {P} _{\theta }(A)=\left(\int _{A}e^{-\theta \varphi (x)}\,\mathrm {d} x\right){\Big /}\left(\int _{\mathbf {R} ^{d}}e^{-\theta \varphi (y)}\,\mathrm {d} y\right).}$

に対して適用すれば、θ を大きくした場合の、ある事象（集合）A に対する確率の漸近表現を与えることができる。 たとえば X を R 上で正規分布する確率変数とすると、すべての可測集合 A について

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \downarrow 0}\varepsilon \log \mathbf {P} {\big [}{\sqrt {\varepsilon }}X\in A{\big ]}=-\mathop {\mathrm {ess\,inf} } _{x\in A}{\frac {x^{2}}{2}}}$

という関係が成り立つ。

• Dembo, Amir; Zeitouni, Ofer (1998). Large deviations techniques and applications. Applications of Mathematics (New York) 38 (Second edition ed.). New York: Springer-Verlag. pp. xvi+396. ISBN 0-387-98406-2 MR 1619036

• 大偏差理論
• 大偏差原理（英語版）
• ヴァラダンの補題（英語版）
• 測度論
• 確率論
• ルベーグ積分