ラマヌジャンの合同式

4=4, 3+1, 2+2, 2+1+1, 1+1+1+1のように、正の整数 n をいくつかの正の整数の和として表すことを整数分割という。分割の仕方の総数を分割数といい、p(n) と表す。例えば、p(4)=5である。分割数 p(n) は n が5m+4, 7m+5, 11m+6 (m=0,1,2,..) であるとき、それぞれ、5, 7, 11で割り切れる。すなわち、

${\displaystyle p(5m+4)\equiv 0{\pmod {5}}}$

${\displaystyle p(7m+5)\equiv 0{\pmod {7}}}$

${\displaystyle p(11m+6)\equiv 0{\pmod {11}}}$

が成り立つ。これらの関係式をラマヌジャンの合同式という。

イギリスの数学者で少佐でもあるパーシー・アレクサンダー・マクマホンは n=200 までの分割数 p(n) を計算し、その表を作成した。マクマホンの表からラマヌジャンはこれらの関係式が成り立っていることに気づき、1919年に1番目と2番目の関係式の証明を与えた^[4]。3番目の関係式については、ラマヌジャンの没後、1921年にハーディによってラマヌジャンの証明の論文が出版された^[5]

実際に p(5m+4), p(7m+5), p(11m+6)のいくつかを書き下すと次のようになる^[6]。

m	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
5m+4	4	9	14	19	24	29	34	39	44	49	54
p(5m+4)	5	30	135	490	1575	4565	12310	31185	75175	173525	386155

m	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
7m+5	5	12	19	26	33	40	47	54	61	68	75
p(7m+5)	7	77	490	2436	10143	37338	124754	386155	1121505	3087735	8118264

m	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11m+6	6	17	28	39	50	61	72	83	94	105	116
p(11m+6)	11	297	3718	31185	204226	1121505	5392783	23338469	92669720	342325709	1188908248

ラマヌジャンの合同式はある素数 l とある整数 β について、

${\displaystyle p(lm+\beta )\equiv 0{\pmod {l}},\,m=0,1,2,\cdots }$

の形をしている。ラマヌジャン自身はこうした合同式は稀であると考えていたが、スコット・アールグレンとマシュー・ボイランは、この関係式を満たす素数 lと整数 β (0 ≤ β ≤ l-1)の組が (l, β)=(5,4), (7, 5), (11, 6)、すなわち、ラマヌジャンの合同式の場合に限られることを示した^[7]。

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1919年の論文でラマヌジャンは、さらに以下の関係式が成り立つことを予想した^[4]。

${\displaystyle p(5^{n}m+\lambda _{5,n})\equiv 0{\pmod {5^{n}}}}$

${\displaystyle p(7^{n}m+\lambda _{7,n})\equiv 0{\pmod {7^{n}}}}$

${\displaystyle p(11^{n}m+\lambda _{11,n})\equiv 0{\pmod {11^{n}}}}$

但し、λ_p,nは

${\displaystyle 24\lambda _{p,n}\equiv 1{\pmod {p^{n}}}}$

を満たす正の整数である。これらの予想は、

${\displaystyle 24\lambda \equiv 1{\pmod {5^{a}7^{b}11^{c}}}}$

ならば、すべてのm=0,1,2,.. に対して

${\displaystyle p(5^{a}7^{b}11^{c}m+\lambda )\equiv 0{\pmod {5^{a}7^{b}11^{c}}}}$

が成り立つ、とまとめることができる。この場合も、証明は5^a, 7^b, 11^cの場合をそれぞれ考えればよく、その他の場合は系として得られる。

ラマヌジャンは5²と7²の場合の証明のあらましを記している。しかしながら、1934年にサーバダマン・チョウラ（英語版）は7³での反例を見出した^[8]。

${\displaystyle 24\cdot 243\equiv 1\quad ({\text{mod}}\,\,\,7^{3})}$

であるが、

${\displaystyle p(243)=133978259344888}$

は、7³では割り切れない。1938年にジョージ・ネヴィル・ワトソン（英語版）は、 7^bの場合については7^[(b+2)/2]と補正すれば、正しいことを示した^[9]。 このとき、修正された予想は

${\displaystyle 24\lambda \equiv 1{\pmod {5^{a}7^{b}11^{c}}}}$

ならば、

${\displaystyle p(5^{a}7^{b}11^{c}m+\lambda )\equiv 0\quad ({\text{mod}}\,\,\,5^{a}7^{\beta }11^{c}),\,\beta ={\biggl [}{\frac {b+2}{2}}{\biggl ]}}$

となる。ワトソンはこの修正された予想において、5^a, 7^bの場合の証明を与えた^[9]。さらに、1967年にオリバー・アトキン（英語版）は11^cについて証明を与え^[10]、最終的にこの予想が正しいことが結論された。

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ラマヌジャンの合同式の証明の代表的な方法の一つは、母関数の議論に基づくものである^[1][2]。ラマヌジャン自身も1919年の論文で、5と7を法としたときの合同式の証明に母関数の方法を用いた^[4]。次の2つの式は、p(5n+4)と p(7n+5) の母関数の表示を直接与えている^{[注 1]}。

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{p(5n+4)q^{n}}=5{\frac {\prod _{n=1}^{\infty }{(1-q^{5n})^{5}}}{\prod _{n=1}^{\infty }{(1-q^{n})^{6}}}}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{p(7n+5)q^{n}}=7{\frac {\prod _{n=1}^{\infty }{(1-q^{7n})^{3}}}{\prod _{n=1}^{\infty }{(1-q^{n})^{4}}}}+49q{\frac {\prod _{n=1}^{\infty }{(1-q^{7n})^{7}}}{\prod _{n=1}^{\infty }{(1-q^{n})^{8}}}}}$

右辺を q のべき乗で展開したときに、qⁿの係数は1番目の式では p(5n+4) となるが、これは5で割り切れる。同様に、qⁿ の係数は2番目の式では p(7n+5) となるが、これは7で割り切れる。すなわち、p(5n+4) ≡ 0 (mod 5) と p(7n+5) ≡ 0 (mod 7) が成り立つ。なお、q-解析で使用されるq-ポッホハマー記号

${\displaystyle (a;q)_{n}={\begin{cases}(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1})&(n>0)\\1&(n=0)\end{cases}}}$

を用いれば、

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{p(5n+4)q^{n}}=5{\frac {(q^{5};q^{5})_{\infty }^{5}}{(q;q)_{\infty }^{6}}}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{p(7n+5)q^{n}}=7{\frac {(q^{7};q^{7})_{\infty }^{3}}{(q;q)_{\infty }^{4}}}+49q{\frac {(q^{7};q^{7})_{\infty }^{7}}{(q;q)_{\infty }^{8}}}}$

と表すことができる。

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1944年にフリーマン・ダイソンは分割のランク（英語版）(rank)と呼ばれる量を導入し、5と7を法としたときのラマヌジャンの合同式の組合せ論的解釈に関する予想を提示した^[11][12]。さらにダイソンは分割のクランク（英語版）(crank)と呼ばれる量が存在することを予想し、11を法としたときについても組合せ論的解釈が可能であることを予言した。ダイソンが導入したランクは分割における最大の和因子から和因子の個数（分割の長さ）を引いた差で定義される。正の整数 n のランク m の分割の個数を N(m, n) と表し、t を法としたときにランクが m と合同な分割の個数を N(m, t, n) と表す^{[注 2]}。ダイソンは

${\displaystyle {\begin{aligned}N(0,5,5n+4)=&N(1,5,5n+4)=N(2,5,5n+4)\\=&N(3,5,5n+4)=N(4,5,5n+4)\\=&{\frac {p(5n+4)}{5}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}N(0,7,7n+5)=&N(1,7,7n+5)=N(2,7,7n+5)\\=&N(3,7,7n+5)=N(4,7,7n+5)\\=&N(5,7,7n+5)=N(6,7,7n+5)\\=&{\frac {p(7n+5)}{7}}\end{aligned}}}$

が成り立つこと予想した。この予想が成り立てば、明らかに p(5n+4) は5で割り切れ、p(7n+5) は7で割り切れることになる。このランクに関するダイソンの予想が正しいことは、オリバー・アトキンとピーター・スウィナートン-ダイアー（英語版）によって、1954年に証明された^[13]。また、ダイソンが予想した性質を持つクランクは、1988年にジョージ・アンドリュース（英語版）とフランク・ガーバン（英語版）によって発見された^[14]。